平面図形の問題です

質問

正三角形ABCの辺を
AP:PB=BQ:QC=2:1となる点P,Qをとったものです。

三角形RQCの面積は三角形ABCの面積の何倍か。という問題です。

手書きですいません

回答No.2

meowcoooo

メネラウスの定理を知っていますか？
その図では
BC/CQ × QR/RA × AP/PB =1
です。
長さではなく比でOKです
3/1 × QR/RA ×2/1 =1
ここから
QR/RA=1/6
よってQR:RA=1:6ですね。

あとは 高さの等しい三角形の面積比は
底辺の長さの比に等しいので
ABC:AQC=3:1
AQC:RQC=7:1
から出せます。

お礼

知らなかったのですぐに調べました。他にも使えそうな問題がたくさんありそうですね。

これを気に覚えて使っていきたいと思います。

ありがとうございました！

回答No.1

mizuwa

いろいろ方法がありますが、とりあえず基礎的なものとして
小・中学校の範囲で、平行線を利用したものです

●Ｑを通り、ＣＰに平行な直線とＡＢの交点をＳとします

(1)
平行線の性質から
…ＢＳ：ＳＰ＝ＢＱ：ＱＣ＝2：1

ＡＰ：ＰＢ＝2：1から、ＡＰ：(ＢＳ＋ＳＰ)＝2：1で
…ＡＰ：ＢＳ：ＳＰ＝6：2：1　となり
…ＡＰ：ＳＰ＝6：1

平行線の性質から
…ＡＲ：ＱＲ＝ＡＰ：ＳＰ＝6：1

(2)
ＡＲ：ＱＲ＝6：1から
…△ＲＱＣ＝(1/7)△ＡＱＣ

ＢＱ：ＱＣ＝2：1から
…△ＡＱＣ＝(1/3)△ＡＢＣ

以上から
…△ＲＱＣ＝(1/7)＊(1/3)△ＡＱＣ＝(1/21)△ＡＢＣとなり

△ＲＱＣの面積は、△ＡＢＣの面積の(1/21)倍となります

お礼

その補助線の引き方は思いつかなかったです。

お陰様で理解できました。
とても分かりやすい説明ありがとうございます！