扇形の面積を最大とする半径rを求める。

質問

周が一定ｍで、半径r、中心角がaである扇形の面積を最大にする半径と中心角aを求めよ。という問題で、弧の長さをｂとするとb＝ｍ－２ｒ
面積をsとするとs=br/2=(m-2r)r/2=-r^2+mr/2=-(r-m/4)^2+m^2/16となってr=m/4のとき最大となることは分かったのですが、a=2という回答が分かりません。s=πr^2a/360=m^2/16　　これを解くとa=360/πとなって２となりません。わかる方どうぞ教えてください。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

ANo.2 です。

私への補足ではないのですが、気に成る点がいくつかあって、書かせて頂きます。

＃１ 弧度法については二通りの考え方があります。
　　　文部科学省も意見が分かれているようです。

（１）　本質的に、弧度法が必要になるのは、数学IIIの、
　　　三角関数の微分である。
　　　だから、その直前に教えれ場良いという説。

　　　事実、この考え方で、一時、弧度法が数学IIの教科書から、
　　　消えました。現行では、元に戻って数学IIの範囲になっています。
数学IIで、弧度法が教えられると、一部の生徒は、何故こんなの必要なのか、
疑問に思います。３６０度法（６０分法）で充分ではないか。
この疑問対しての返答は不可能なのです。必然性がないのです。
全ての問題が、３６０度法で解けるのです。

（２）　数学IIで加法定理などの様々の公式は、いずれは弧度法に、
　　　書き換えねば成らないので、三角関数で導入した方が良い、という説。

どちらの主張にも、いちりあります。
個人的には、数学IIで教えてよいが、何故必要かをハッキリ説明する必要がある

と思っています。実際、微積に堪能な人でも、弧度法の必然性を正しく説明できる

人は少ないのです。
これは、教科書にも責任があります。明示的には書かれていないのです。

弧度法は便利です。本気になれば、１０分で基本は理解できます。
面倒なのは、（３６０度法、弧度法）の変換を瞬間的に出来るようになるには、
かなりの（慣れ）が必要で、これは１０分では無理なのです。

今回のような問題は、基本だけで充分なので、検索しても良いし、新スレッドをた

てれば、アットいうまに回答が多数到着します。

＃２
＞＞　b=arとなることを覚えます。

今回の問題は、もともと弧度法なのです。
今回の問題は弧度を知らないと、解けないのです。

換言すると、a=2になりましたが、これは２度と言う意味ではありません。

弧度法の基本は３６０度＝２πです。

３６０度：２π＝ｘ度：２
ｘ＝３６０度/π≒１１５度

＜最後の答は、１１５度だったのです。＞

　結論から書くと、（解けない問題を解こうとしていた。）となります。
　換言すると、＜a度と思っていた。＞

○　角度に単位である＜度＞が付いていない場合は、
　　全て弧度法なのです。紛れを防ぐためにaラジアンと書く場合もありますが、
　　通常は＜つけません＞

○　弧度法でみると、b=arは（当たり前の式）であって、
　　覚える式ではないのです。

○　では、これからはどうするか、

（１）　角度に＜度＞がついていない問題には手を出さない。
（２）　弧度法の基本を学ぶ。

選択するのは、sakura1424様です。

お礼

丁寧な説明を有り難うございました。

回答No.5

takeches

ra=bになる理由ですが、rが一定のとき、扇形の円周は中心角に比例します。それが理由です。
また、このとき用いるaが＜度＞であらわされるわけではないのは分かると思います。本当は別の説明がありますが、ここでは少し違う解説をします。
ra=bになるということは、a=360°の時、bは2πrにならねばなりません。そこで代入します。
r×360°=2πr
360°=2πr/r
　　　　=2π
180°=π
よって、例えば180°のときの円周はπrであらわすことができます。
これを用いれば、例えば半径3、角度90°の扇形の円周を求めるとき、
90°×3
=π/2×3
=3π/2 と簡単にあらわすことができます。
この180°をπとする表し方は既に回答されていますが、ラジアンといいます。

本当のラジアンの説明は、半径と円周の等しい扇形の角度を1とする、というものなのですが、それでは分かりにくいと思いこういった解説をしました。ANo.4さんがいうように、弧度法の基本を学ぶのが良いと思います。

お礼

丁寧な説明を有り難うございました。

回答No.3

aquarius_hiro

こんにちは。

a=360/πは、360/π度という意味ですね。

なぜなら、使った式
> s=πr^2a/360=m^2/16
はaを度で測って、s=πr^2×(a/360)としたわけなので。

a=360/π(度)は、それはそれで正解ですが、問題の答えではラジアンという単位で表現しているようです。

2πラジアンが360度です。
つまり、1度＝2π/360ラジアン

従って、aをラジアンで表現すると、
a = 360/π(度)×2π/360(ラジアン/度) = 2ラジアン
です。

ラジアンは、角度を表現するのに、単位円(半径1の円)の円弧の長さを用いるものです。単位円で、ある中心角に対する円弧の長さがaのとき、その角度をa(ラジアン)とします。これがANo.1の方の言われている「弧度法」というものです。

単位円の一周(360度)は 2π×1 = 2π なので、2πが360度になります。

ラジアンは大変便利なので覚えておかれると良いと思いますよ。

例えば、半径rの円の中心角がa(ラジアン)の円弧の長さbを求めたいとき、同じ角度a(ラジアン)に対する半径1の円の円弧の長さはそのままaなわけなのですから比例計算で、

r:b=1:a

ということで、ra=bになります。

お礼

有り難うございました。ラジアンというのを学んだ気がいます。すっかり忘れていました。分かりました。有り難うございました。

回答No.2

kkkk2222

b=ar を見過ごしているようです。

この後の手順は様々ですが、一例を示すならば。

＞＞b=m-2r
＞＞r=(m/4)

a(m/4)=m-( 2(m/4) )
a(1/4)=1/2
a=2

お礼

有り難うございました。

回答No.1

fukuda-h

aは弧度法ですから弧の長さb=arです。よって2r+ar=mです。
ここへr=m/4を代入すると
2(m/4)+a(m/4)=m
からa=2が求まります。
この問題は
扇形の面積の公式はS=(1/2)×(r^2)×a
弧の長さはb=ar
を組み合わせた問題です。

お礼

早速の回答有り難うございました。

補足

弧度法というのがわからないです。説明が大変ならばb=arとなることを覚えます。