Re:扇形の面積

質問

先にありました質問No.823023で、
＞扇形の弧の長さと弦の長さだけが解かっています。
＞この時、扇形の面積は出すことができるでしょうか？
に対して、何とか回答しようとして、ちょうど回答No.3と同じように、
弧の長さL、弦の長さをD、扇型の半径Rとすると
　R=L/arcos{1-D^2/(2R^2))
となることはわかりました。ところが、これが解けないのです。一応、高校での数学は結構トップレベルをいっているつもりなのですが解けません。これを解くと・・・として回答されていますが、解法を教えていただけないでしょうか（できれば、高校レベルでわかるようにお願いします）。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

問題の方程式は超越方程式と呼ばれる類のもので，
初等関数の組み合わせで解を表すことはできません．

No.823023 の KENZOU さんのご回答，
および質問者の wonatak さんの式はそのとおりですが
(1)　　θ=cos^{-1}(1-g^2/2r^2)
よりは
(2)　　θ = 2 sin^{-1} (g/2r)
の方が見やすいでしょう．
(1)に半角公式を適用してもよいですし，
弦の長さが 2r sin(θ/2) で表されることを使っても導けます．

(2)を使うことにすると，
(3)　　r/K = 1/[2 sin^{-1}(g/2r)]
すなわち
(4)　　sin^{-1}(g/2r) = K/2r
が得られ，両辺の sin をとれば
(5)　　g/2r = sin(K/2r)
になります．
(6)　　K/2r = x
とおけば
(7)　　(g/K)x = sin x
で，これが最も簡単な形でしょう．

x=0 は自明な解ですが(元の問題に戻れば意味のない解)，
それ以外の解は g/K の値を与えて数値計算するより
仕方がありません．
例えば，g/K = 1/2 としても解は解析的には求まりません．

なお，y = (g/K)x と y = sin x のグラフの交点が(7)の解であることと
x = 0 における sin x の傾きを考えると，
(7)が x=0 以外の解を持つのは
(8)　　g/K < 1
の場合であることがわかります．
元に戻れば，(8)は弧の方が弦より長いことを意味しています．

なお，簡単のため，中心角は 0≦θ≦π にしています．
円周上の２点を結ぶ弧は２通りありますが．
弧の長さは短い方を意味することが普通ですので，
それに対応しています．

ミスタイプや書き損ないなどあるかもしれませんので，
チェックもよろしく．

お礼

詳しいご回答ありがとうございました。
すんなりとは解けないということも言っていただき安心しました。考え出すと時間を忘れて没頭する癖があり、他のことができなくなって困ってしまいます。数学の問題を考えていると夜も眠れない癖を直さないといけません。

近似的にしか求められないことがわかりました。

補足

補足ではありませんが、ポイントは、20点と10点と一人ずつですので、甲乙付けがたいのですが、ご勘弁下さい。No.1の方の補足欄をすでに埋めてしまっているので、この場を借りて御礼申し上げます。

回答No.2

nakaizu

はっきり言って代数的に解くことは出来ません。
でももう少し見やすい形にすることはできます。
中心角を2θとすると（2があると式が簡単になります）
θ=L/(2R), sinθ=D/(2R)
となるので、Rを消去すると
sinθ=(D/L)θ
を解けばよいことになります。
この方程式は代数的に解けません。

実際に求めようとすると解析的に近似値を求めることになります。
これはニュートン法を用いるのが一般的です。
具体的に書くと

f(θ)=sinθ-(D/L)θ
とします。また解の近似値あa0を適当に決めます
（たとえばπ/2でもいいです）
a0でy=f(θ)の接線を引きます。接線とθ軸との交点の座標をa1とします。
a1を新しい近似値として同じことを繰り返し、a2,a3,‥を決めてゆきます。
この計算は代数的な計算と三角関数の計算ができれば出来ます。
すぐに数値がほぼ同じ状態になり、それが解です。

このようにしてθを求めれば面積はL^2/(4θ)となります

お礼

詳しいご回答ありがとうございました。
すんなりとは解けないということも言っていただき安心しました。考え出すと時間を忘れて没頭する癖があり、他のことができなくなって困ってしまいます。数学の問題を考えていると夜も眠れない癖を直さないといけません。

近似的にしか求められないことがわかりました。

回答No.1

puni2

おそらく，この質問の回答No.3を書かれた方が「解いて求めることができます。」と言われたのは，「解析的に解ける」という意味ではなく，ここまで式変形したので，あとは数値を代入して関数電卓で求めましょう（安い関数電卓でも，逆三角関数のキーぐらいはありますし，Windowsにも付属してますし），という意味ではないでしょうか。

arccosをテーラー展開すれば，さらに式変形することも可能でしょうが，余計ややこしくなりそうな気がします。

と書きましたが，本当は解けるのかも知れません。
「困り度3：直ぐに回答ほしいです」とあったので，とりあえず書きましたが，詳しい回答者の説明を待ちましょう。

お礼

すいません、お礼ではなく、補足の補足なのですが、LとD は、わかっていても、Θとｒも複雑な式ですから、容易に代入もできませんよね。もちろん半径がわかってれば楽勝ですが、基本的に、文字として解けるのかどうかと言うところに興味があるのですが・・・

補足

早速のアドバイスありがとうございました。

私としては、この問題が、弧と弦の長さだけで解けるのかに興味があります（電卓なしで）。半径か扇の中心角のどちらかわかっていれば（中心角の場合は、特定の計算できる角度の場合のみ、あるいは文字として）解けることはわかりますが、あえて、弧と弦の長さだけで解けるのかについて質問したいと思っています。そこのところの解説をよろしくお願いします。