加法定理

質問

問題を解いてみたのですが、合っているか
自信がありません。
正解しているか教えてください。

問1
αが第二象限の角で、sinα＝7/25のとき、次のものを求めよ。
(1)cosα
(2)sin2α
(3)cos2α
(4)tan2

問2
asinθ+bcosθの変形公式を使って、次の式を変形し、
かつ最大値と最小値を求めよ。
(1)sinθ+cosθ
(2)sinθ-√３cosθ

自分の出した答は
問1(1)が　cos^2α+sin^2α=1
cos^2α+(7/25)^2=1
cos^2α=1-49/652
=576/625

(2)問1が　sin2α=2sinαcosα
sin2α=2((7/25)(-24/25)=-336/625

問1(3)が　cos2α＝１－２sin^2α
cos2α＝１－２(7/25)^2=527/625

問1(4)が　tan2α＝sin2α/cos2α
tan2α＝(-336/625)/(527/625)=-336/527

問2 (1)が　ｙ＝√２ｓｉｎ(θ＋45°）
よって最大値は√２、最小値は-√２

問2 (2)が　y=2sin(θ-60°）
よって最大値は2、最小値は-2

よろしくお願いします。

回答No.5

zabuzaburo · ベストアンサー

問2に関してあれこれと。

「asinθ + bcosθの変形公式」というのは
はじめ何のことかと思いましたが、
よく「合成の公式」などと呼ばれているアレですね。
この変形は単に加法定理を逆向きに使っているだけですから
(↑この文章の意味が分かるかどうかは重要です！)
加法定理を用いて検算することができます。
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
をしっかり確認した上で計算をさかのぼりましょう。
sin(θ + 45°)
= (sinθcos45°+ cosθsin45°)
= (sinθ)・(1/√2) + (cosθ)・(1/√2)
= (sinθ + cosθ) / √2
となり、問題の式はその√2倍ですから
(√2)sin(θ + 45°)
= (√2)(sinθ + cosθ) / √2
= sinθ + cosθ
となってOKですね。
同様に(2)も正しいことが確認できます。

参考までに、問2の別解を紹介して
答が一致することを示しましょう。
----------
(1)k = cosθ + sinθとすると、
下の[ア]かつ[イ]が成り立つことができるように
kの値の範囲を定めればよい。
[ア] (cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1
[イ] cosθ + sinθ = k
cosθをx、sinθをyと書き直して見やすくすると
[ア] x^2 + y^2 = 1
[イ] x + y = k
これらを満たす実数x,yが存在すればよい。
[イ]は y = k - x 、これを用いて[ア]を書き換えると
x^2 + (k - x)^2 = 1、整理して
2・x^2 - 2k・x + (k^2 - 1) = 0
これが実数解を持てば良いから「判別式≧0」なんぞを持ち出して
(-2k)^2 - 4・2(k^2 - 1) ≧ 0
これを解くと -1 ≦ k ≦ 1

(2)(1)と全く同様にできる。
k = y - (√3)x から y = k + (√3)x、これにより[ア]は
x^2 + [k + (√3)x]^2 = 1
4・x^2 + (2√3)k・x + (k^2 - 1) = 0
判別式を取り出して
[(2√3)k]^2 - 4・4・(k^2 - 1) ≧ 0
これを解くと - 2 ≦ k ≦ 2
----------
興味があって不明なところが出てきたら補足してください。

お礼

これはかなり丁寧に教えていただきました。
ありがとうございます。

回答No.4

popo2

(1) cos^2α=625-49/625=576/625
cosα<0なのでcosα＝-24/25
(2) sin2α=2sinαcosα=2*7/25*(-24/25)=-336/625
(3) cos2α＝１－２sin^2α=1-2*49/625=527/625
(4) tan2α＝sin2α/cos2α=(-336/625)*625/527=-336/527

問2 (1)が　ｙ＝√２ｓｉｎ(θ＋45°）
よって最大値は√２、最小値は-√２ でいいですが、まずθの範囲によって答えが変わるので注意！（多分０以上３６０未満と思うけど）
さらに最大値の時のθの値（45°）と最小値の時のθの値（225°）を書かないといけません（２）も同じく最大値の時のθの値（150°）と最小値の時のθの値（330°）です

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

oshiete_goo

答は全て合っていますし，解法も適切に出来ています．

問1(1)
Charlie24さんも指摘されていますが，
『αが第二象限の角より　cosα＝-24/25（＜0）』
という部分を補うと良いでしょう．

あとは問２で
(１)　θは全ての角を取りうるので　－１≦sin(θ＋45°)≦１
であり，最大値は√2（θ=45°），最小値は-√2（θ=225°）

(2)　θは全ての角を取りうるので　－１≦sin(θ-60°)≦１
であり，最大値は2（θ=150°），最小値は-2（θ=330°）

などの部分(最大値，最小値を与える角[普通は0°≦θ＜360°での角])を加えておくと完全です．

お礼

oshiete_gooｄさんありがとうございます。
ポイントを差し上げられなくて申し訳ございません。

回答No.2

noname#181872

失礼しました。問1(1)の最後の答え（cosα=...）がなかったもので、
マイナスになる答えがなかったので、早とちりしました。

お礼

Charlie24さん、ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

noname#181872

問1は、αが第二象限の角で、となっています。
そうすると…