三角不等式(加法定理学ぶ前)

質問

御世話になっております。

次の三角不等式の基本的な問題ですが、解答が無いため、解の正誤をお答え下さると助かります。

問 0≦θ＜2π の時 tanθ＜√3

解は 0＜θ＜π/3、π/2＜θ＜4π/3、π/2＜θ＜2π

宜しくお願い致します。
また、三角不等式は、基本sin cos tanが単位円で取る値の範囲をきちんと把握してる事が必要ですか？
例題を単位円で書くと、tanが√3より小さいのは、II象限とIV象限は確実。あとは、I、III象限で√3より小さいtanに対応するθを図から調べる。こんな感じで解けば良いのでしょうか。二次不等式の安直な解法みたく、不等号の向きから簡単に解いてはダメということですね？

あと、単位円を使う方法と曲線を使う方法とありますが、ご回答される方々は主にどちらを使いますか？ 私的には書くのが楽なので単位円をうまく使いたいのですが……

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

解は、ちょっと惜しくて、タイプミスじゃないかと思いますが、
最初の不等式、0≦θ…の「＝」、
最後の不等式の、3π/2＜θの「3」が抜けています。

残りの２つの質問にまとめて答えてしまいます。

＞あと、単位円を使う方法と曲線を使う方法とありますが、ご回答される方々は主にどちらを使いますか？ 私的には書くのが楽なので単位円をうまく使いたいのですが……

曲線というのは、y=sinx,cosx,tanxのグラフ、ということですよね？

どっちもできた方がいいのは、間違いないところですが、

グラフを確実に描けるようになるためにも、
まずは、単位円の方で確実にできるようにする、
その上で、単位円の考えを元に、グラフを描けるようにする、
そうすれば、結果的に、どっちでも同じ、という感じになります。

そこで、単位円を使ったやり方を、しっかり把握する方法として、
次のようにやると、効果的かと思います。

・まず、sin, cos, tan 用に、３つの単位円を並べて描く。
　sin, cos用と並べた間の下の段に、tanx用を描くと解りやすいかと思います。

・単位円の考え方では、sinθ = 動点Pのy座標だから、
　sinがプラスになるのは、yがプラスになる、x軸の上の方、
　マイナスになるのは、yがマイナスになる、x軸の下の方、
　よって、第I,II象限に、＋と、第III,IV象限に－と書く。

　45度に対するsinの値(1/√2)を、それに対応するPの外側に、書く
　OPを結ぶ線を、＋－が見えにくくならないよう、点線か何かで書いたり、
　＋－を書く場所を工夫しておくといいかも。

　0,90,135,180,210,…度なども同じ要領で値を書いていく。
　最初は、ついでに、30,60,120,…度の値も書いておくといいかも。
　0,90,180,…度では、軸の目盛りの値と混同しやすいので、
　値は、全部、例えば、○の中とかカッコ付で書く方がいいかも。

　そうして、sinθ = 動点Pのy座標を意識して、
　書きこんだsinθの値も参考にして、
　(1,0)からスタートして、Pが単位円の円周上を反時計回りに
　動いていくとき、sinθの値がどう変化するか、考えてみる、
　当然上に行けばいくほど、大きく、下に行けば、小さくなり、
　真ん中の、x軸のところで0になるのは、当たり前、
　２周回れば、720度、３周回れば、1080度までのθで、
　逆に回れば、負の角度の場合が、しっかり理解できます。
　理解だけなら、すでにできていると思いますが、
　こういうことをやると、納得・当たり前じゃん、と思えるように
　なりやすく、そうなると、グラフも、当たり前のように描ける
　ようになります。

　sinθ = 動点Pのy座標と考えれば、sinθ＞何とか、と言われたら、
　考えれば、直線y=何とかの上側、になるのは、当たり前、
　こういうことが、自然に、反射神経で、考えなくても、出てくる
　ようになる、こういう感覚の部分まで、持っていくのがとても重要です。

・cosについては、cosθ = 動点Pのx座標なので、値の大小は、
　上下でなく、左右で決まるだけ、やることは全く同じです。

・tanについては、tanθ = 動点のy座標/x座標 = sinθ/cosθ
　なので、ちと面倒ですが、同じように書き込みをしていきます。
　(ただ、90,270度のところには値がないので、書けません)

　sinと同じようにPを動かしていくと、0度～90度の手前までで、
　ずっと大きくなっていく、180度から逆回ししていくと、
　90度の手前まで、値は0からどんどん小さくなっていく。

　値としては書きようがないので、90度のところは、
　y軸の右側に (＋∞), 左側に(－∞)のように書いておくといいでしょう。
　「∞」は数学では「無限大」と読みます(決して「エイト」ではありません^^)
　切れ目があることを示すため、90,270度に当たるP(0,1),(0,-1)には、
　不等式で使った小さい白丸を描いておくのも、一つの手、

　こうすると、90,270度のところで、切れ目はあるが、
　Pを反時計回りに動かしていくと、常に値は大きくなりっぱなし、
　ということが、考えて、でなく、感覚として解るようになるはずです。

何回もやるどころか、大抵は、１回、ちょっと丁寧にやるだけで、
理解＆納得＆感覚化ができてしまい、その後は、

単位円には、0,90,…度の値、tanのときだけ、できれば、45,135,…度
の値も書くだけで(値が±1というのは重要な点ですから)、
三角方程式は、パッと見だけで解決、グラフも自然に描ける、
という感じになれると思いますので、ぜひ試してみてください。

お礼

言い得て妙 でした。ご回答ありがとうございました。