微分法・積分法。

質問

微分積分の問題なのですが、

aは実数、放物線y=x^2+4ax+a^3+a^2をC、その頂点をPとする。

このとき、
(1)Ｃとy軸との交点のｙ座標をf(a)とする。f(a)が極小値をとるのはa=[ア]のときである。

とういう問題がわかりません。よかったらどなたか教えてください。

ちなみに答えは、0です。

回答No.1

DJ-Potato

y = x^2 + 4ax + a^3 + a^2
= x^2 + 4ax + 4a^2 + a^3 - 3a^2
= (x + 2a)^2 + a^3 - 3a^2

頂点Pの座標は(-2a, a^3-3a^2)ですね。

ところで、Cとy軸の交点
f(a) = y(0) = a^3 + a^2
f'(a) = 3a^2 + 2a
= a(3a+2)

f(a)はaの３次関数で、a^3の係数が正なので、-∞～極大値～極小値～+∞、を描くグラフになります。
f'(a) = 0なのは、a = -3/2, 0なので、
a=-3/2で極大値
a=0で極小値を取ります。