文字が複数ある判別式がよくわかりません。

質問

添付画像はある高校数学２の問題の解答の解説なのですが、
aについて整理した2次方程式の判別式を考えています。
その結果、ｘ、ｙの存在の条件みたいなのが求まっていますが、
例えば、ｘについての2次方程式の判別式で解の個数（ｘ軸との交点の個数）が分かるじゃないですか。
今回はaについての2次方程式の判別式なのに「a」ではなく「x、y」についてのことが求まるのがどうもしっくりきません。
この類のものが苦手なのではっきりわかりたいです。
質問が少し漠然としているかもしれませんが、わかっていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

文字を使った数式で重要なことに関するご質問ですね。ひとことで言うと、「文字を使用した数式では、どの文字を定数と考えるか変数(未知数）と考えるかで、数式の意味が変わる」ということです。

与えられた　y=2ax-(a+1)^2 …（１）は、aを定数とし、ｘ、ｙを未知数とする１次方程式と見ることができます。このとき未知数が２つに対して方程式は１つしかないので、例えばa=１のとき（１）は　y=2x-4 となり、これを満たす実数(x,y)の組み合わせは、グラフで考えるとy=2x-4の直線上に無数にあります。この場合はaを定数と考え、xを変数とする1次関数y=2x-4を考えていることになります。

そこで（１）について、a=-5からa=+5まで、0.1刻みでaの値を変えて（１）のグラフを描かせたのが下の図です。赤線はa=±1のときです。題意を満たすのは放物線の上側のように見えますが、なぜそうなるかという理屈が必要です。

そこで（１）を変形して、aについて整理すると　a^2+2(1-x)a+(1+y)=0　…（２）という式になります。題意を満たす(x,y)の組み合わせの条件を求めるためにこの（２）を「aを未知数とし、x,yを定数とする2次方程式」と考えよう、というのがこの解法のポイントです。

「どんな実数aを持ってきても（１）すなわち（２）を満たすx,yが存在しない」ことと
「どんな実数(x,y）の組み合わせでも（２）を満たすaが存在しない」ことは表裏一体だからです。

そこで判別式が負でaが実数解を持たないx,yの条件を求めると、y＞(x-1)^2-1という放物線の上側(境界を含まない）になります。

お礼

詳しくご回答ありがとうございました。

回答No.2

kiha181-tubasa

a，x，yがどのような実数値をとっても
y=2ax-(a+1)^2
が成り立たない
と解釈できますね。

だから，これをaの２次方程式と見た時
この２次方程式は実数解を持たない
と解釈できるのです。そこで解答書にあるような説明になるのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

aの2次方程式の係数にx, yが登場しているので、
その判別式の値や符号によってxとyの関係がわかります。

お礼

ご回答ありがとうございました。