△△鈍角三角形の３辺の関係△△

質問

「３つの数　4、7、x（x＞7）が、
三角形の３辺の長さを表すときの
xのとりうる範囲は７＜x＜１１であり、
さらに、鈍角三角形の３辺の長さを表すときの
xのとりうる範囲は●●●である。」

という問題がわかりません＞＜
解答は　√65＜x＜11　です。
どなたかおしえてください＞＜

回答No.4

takeches · ベストアンサー

私も数学がそんな得意な訳ではないので、間違っていたらすみませんが、以前解いた問題の中に似た問題があったので、多分合っていると思います。
余弦定理を用いれば、三角形の２辺が4,7であるということだけで求められます。
具体的には、x^2=4^2+7^2-2×4×7×cosθですね。
ここで、鈍角三角形であるので、cosθの値は-1＜cosθ＜0であることが分かります。よって代入すると、
x^2=4^2+7^2-2×4×7×cosθ
=16+49-56×0
=65
x=√65と、
x^2=4^2+7^2-2×4×7×cosθ
=16+49-56×-1
=65+56
=121
x=11
よって√65＜x＜11となります。

お礼

回答ありがとうございました！

考えてみると
とんとん拍子に解ける問題なんですね！
とてもわかりやすい説明だったので、
一発で理解できました(((*≧▽)ノ
本当にありがとうございました！

回答No.3

noname#71905

３辺をa,b,c(a＜b＜c，a＋b＞c)とすると
　鋭角三角形　a^2＋b^2＞c^2
　直角三角形　a^2＋b^2＝c^2
　鈍角三角形　a^2＋b^2＜c^2

a＝4，b＝7，c＝x
　4＋7＞x　7＜x＜11
　鋭角三角形　4^2＋7^2＞x^2　7＜x＜√65
　直角三角形　4^2＋7^2＝x^2　x＝√65
　鈍角三角形　4^2＋7^2＜x^2　√65＜x＜11

お礼

回答ありがとうございました！

一般化して
書いていただいて
とてもわかりやすかったです！
三平方の定理が
等号だけじゃなくて
鋭角三角形にも鈍角三角形にも
応用できるということが
知れて本当によかったです。
ありがとうございました！

回答No.2

debut

最大辺ｘに対する角が最大角になるから、
その最大角をＡとすると、余弦定理より
cosＡ＝(16+49-x^2)/56
90°＜Ａ＜180°なので、
－１＜cosＡ＜０→－１＜(65-x^2)/56＜０
－１＜(65-x^2)/56とｘ＞７より７＜ｘ＜11・・・(1)
65-x^2＜０とｘ＞７より、√65＜ｘ・・・(2)
(1)と(2)の共通範囲は　√65＜ｘ＜11

まあ、簡単には、ｘが斜辺になるときの直角三角形から
３つの辺がすべて重なるように三角形がつぶれたところまで
の間を考えればいいのでしょう。

お礼

回答ありがとうございました！

わかりやすい説明でした！
-1＜cosθ＜0
という発想が出てきませんでした(;~∧~;)
理解できました！
本当にありがとうございました！

回答No.1

Quattro99

直角三角形の時、ある定理が成り立ちますよね？
その定理は両辺が等しい、つまり等式ですが、鈍角三角形のとき、その両辺の関係はどうなるかを考えてみてください。

お礼

回答ありがとうございました！

三平方の定理が
鋭角三角形にも鈍角三角形にも
使えるなんて
初めて知りました！
これからも使っていきたいとおもいます！
ありがとうございました＞＜