数列(？)

質問

鈍角三角形の３辺の長さが公差 r ( r>0 )の等差数列となっているとき、
最小の辺の長さ a の範囲を、 r を用いて表せ。

解答
r > a >3r

図で考えてみようとしたのですが
余計に混乱してしまいました。

解説していただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Temperman · ベストアンサー

たぶん不等号逆ですよね？

r < a < 3r

まず、各辺の長さを計算しておきましょう。
等差数列なので、順に

a, a+r, a+2r

となるのはいいですよね？

----------------------------

では、三角形の成立条件

【三角形のもっとも長い1辺の長さは他の2辺の長さの和より短い】

というものを考えます。この条件を満たさない場合は三角形を作ることができません。
最長の辺である、長さa+2rの辺が　他の2辺の和より短いので

a+2r < a + a+r
a+2r < 2a+r
r < a　(1)

がわかります。
----------------------------

次に、「鈍角三角形」という条件に注目します。

もし、最長の辺であるa+2rが以下の式を満たしていたらどうなるでしょうか？

(a)^2 +(a+r)^2 = (a+2r)^2

これは有名な三平方の定理の式ですよね？
この式が成立してしまうと、この三角形は直角三角形になってしまいます。
鈍角三角形なのですから、斜辺がもっと長くないといけませんよね？よって

(a)^2 +(a+r)^2 < (a+2r)^2

が成り立ちます。これをとくと　a<3r が得られます。(2)

----------------------------

(1)、(2)より

r<a<3r

となります。

お礼

とても分かりやすかったです！
ありがとうございました。