体積

質問

底円の半径１，高さ１の直円柱がある。底円の直径ＡＢ上に点ＭをＡＭ＝１／２となるように選び，底円の周上に２点Ｃ，Ｄを線分ＣＤが点Ｍを通り，かつＣＤ⊥ＡＢとなるように選ぶ。さらに，この直円柱上に点ＥをＢＥ＝１かつＢＥ⊥ＢＡとなるように選ぶ。３点Ｃ，Ｄ，Ｅを通る平面αの下側にある部分の体積を求めよ。
この問題がどうしても解けません。どうかよろしくお願いいたしますm(__)m

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

1つの解法を示します．

BMに沿ってx軸を取り, B(1,0,0), M(-1/2,0,0), E(1,0,1)と座標系を設定すると, BM上の点P(x,0,0)を通ってBMに垂直な平面で切断すると,切断面は長方形で
断面積S(x)=(2/3)(1+2x)√(1-x^2)
V=∫(-1/2 to 1)S(x)dx
x=sinθなどと置換して，間違ってなければ
V=(√3 -1)/6
結果は自信なしなので，正解を補足下さい．

回答No.5

oshiete_goo

#4の計算式が正しいと仮定すると, 結果は　V= 2π/9 +(√3)/4
のようです．

回答No.3

Singollo

底面からの高さzで、底面と平行な平面で問題の立体を切断し、断面の縁の弧を、弧上の点と、切断面とαの交線との距離の関数で表し、積分して断面の面積を断面の幅の関数として求め、幅をzの関数に置き換えて積分してみては?

回答No.2

Le-Livre

見直して、下の解答に自信がなくなりました。
答えておいて、ごめんなさい。

回答No.1

Le-Livre

図もなく、計算間違いなどあるかもしれませんが、一応解けましたので。
この問題は最終的に、底面積×高さ×１／３に持っていければいいわけです。
まず底面積は
ＡＭ＋ＭＢ＝１／２＋３／２＝２になりますね。円の中心をＯとして、ＣＯ＝１、ＯＭ＝１／２なので
△ＯＭＣは三平方の定理より、１＝１／４＋ＭＣの2乗
ＭＣ＝√３／２（つまり∠ＣＯＭ＝６０度）
同様にＭＤ＝√３／２
△ＯＣＤ＝√３／２×２×１／２×１／２＝√３／４
また残りの、中心角２４０度半径１の扇のような形の図形がありますので、面積を計算して
（半径の２乗×中心角／３６０度×π）
１×１×２／３×π＝２π／３になります。
次に高さは１ですので（ＢＥ＝１）

結局、
（√３／４＋２π／３）×１×１／３
＝√３／１２＋２π／９