円周率3.1415・・・について

質問

私が高１(２年前)のとき「円周率が3．14から3.15の間であることを証明してみろ。できた人は数学の基礎があると認めてやる。できなかった人は数学は苦手科目だと思え。」と言われ考えてみて、自分では完璧だと思って提出した(三角関数を使いました)のですが、少し不備があり、認めてもらえませんでした。結局完璧に正解していた人は４０人中５人だけ(この５人は数学オリンピックの問題をスラスラ解いたりフーリエ展開の証明を考えたりしていた数学オタクでしたが・・・)でした。そして結局答えは教えてもらえませんでした。円周率の証明方法を教えていただけないでしょうか？(面倒だと思うのでサイトで構いません)
よろしくお願いいたします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

大学入試問題でもこの手の問題がありましたね。（2003年東京大学前期理系第6問）
そして、2011年度からの小学校教科書では、円周率が 3.14にもどるということも話題ですね。

上記にある東京大学の入試問題に対する解説で、
「正ｎ角形」を用いるだけでなくいろいろな方法での解答を記載されているサイトがあります。
その方法を拡張すれば、証明自体はできると思います。
（リンクについては直接書いていいのかわからないので載せないことにします。すみません。
それらの「別解」には、#1さんの言われている内容も含まれていると思います。）

あと、「正ｎ角形」を用いる方法ですが、
ｎ≧ 57でないと示すことができないという #2さんの回答を参考にすると、

・頂角 36度の二等辺三角形を考えることで、sin(18°)や tan(18°)を求めて
・半角のそのまた半角をすると、18°÷ 2÷ 2＝ 4.5°→ 正80角形となります。
実際の計算では、さらに半分の 4.5°÷ 2＝ 2.25°の値を考える必要があります。

ただし、その計算は二重根号どころではなくなっているので、非常に大変になると思います。

回答No.5

ORUKA1951

つい先だってもありましたね。
3.14＜π＜3.15 を証明してください。 「π＝3.14159265…だから」や 「円周を直径で... - Yahoo!知恵袋 ( http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1233638022 )

回答No.4

Tacosan

普通は円に内接/外接する正多角形の周長ないし面積を使って処理します. よくあるのは正方形とか正六角形をスタートとして, 半角の公式をわさわさ使っていくもの. 開平を努力と根性でやれば何とかなります.
と最初に書いておくんだけど, 高校生のレベルを超えた先には, すご～くややっこしい話が待っています. そもそも「ここで円周率をどのように定義しているのか」が明確じゃないんだけどね.
「円における, 直径に対する周長の比」というのが普通の定義ですが, この定義を取ると「どんな円であってもこの比が一定である」ことから始めなければならない可能性があります. また, この比が一定であることは前提としても, 意外といやらしいことをネチネチ突っ込まれる可能性がないわけではありません. 例えば, 「円に内接する正多角形の周長は円の周長より短い」とか「円に外接する正多角形の周長は円の周長より長い」ことを示せって言われると... どうするんだろう?
次に, 「円における, 半径の 2乗に対する面積の比」も同じ値を与えますが, これも「本当にこれで求まるの?」って突っ込まれるとやっかいです. でもって, 上の「内接/外接」と周長の関係はここでもやっぱりでてきてこれはこれで頭痛. 普通はスルーしてくれるんだけど, 突っつかれると「面積」の定義からはじまる.
もっといくと「微分方程式 y''(x) + y(x) = 0 の解の周期の半分」という定義も可能ではあるんだけど, さてどうやってここから実際の値を出しますかねぇ.

回答No.2

yumitsuki

高1の数学で解くなら、半径1の円に内接する正n角形と、同じ円に外接する正n角形について、周囲の長さを比べる方法が無難かと思われます。これなら、簡単な三角関数だけで計算出来ます。

ただ、ざっと計算してみたところ、この方法で3.14から3.15までの範囲まで収束させるには、nを57まで上げる必要があります。計算機の使用が許可されていればよいのですが、手計算ではかなり辛いと思われます。

詳しくは、wikipediaの「円周率の歴史」をご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2

回答No.1

B-juggler

ちょっと難しい話で申し訳ないのですが。

ＷＩＫＩ　辞典に　「レオンハルトオイラー」という人がいます。

ここから、「ゼータ関数」という項目に行って下さい。

そこに「バーゼル問題」というものがあります。

ここに少し詳しくあります。

まぁでもこれは、大学生でも難しいと思います。

通常考えられるのは、正多角形で（角は多いほうがいいです）を作って、

はさみで切って、面積を求めてみます。

限りなく円に近くなったときに、面積Ｓ＝ｘｒ＾２　（ｒは半径）として、

ｘを求めていくことが正攻法かな？

三角関数からπを引き出すことはかなり難しいと、サイトをご覧になられれば

お分かりいただけるかと思います。

ちょっとついでに、
「オイラーの積公式」というのが出てきます。

ちょっと面白い式ですよ。ｍ（＿　＿）ｍ