紙と鉛筆だけで円周率π<3.145を証明するのにどのくらい時間・紙を使

質問

紙と鉛筆だけで円周率π<3.145を証明するのにどのくらい時間・紙を使いますか?

「π≒3.15」と発言した政治家がいるそうですが
3.15より3.14に近いことを示すのにどのくらいの労力が必要か疑問に思いました。
「π>3.1」の証明問題が東大の入試で出されたことがあるようですが
関数電卓などを用いないで(中学や高校での試験のような条件で)
「π<3.145」を示すにはどうやってやりますか?
また(個人差もあるでしょうから大体で結構ですが)どのくらいの時間がかかるでしょうか?
「A4用紙で何枚くらいの計算をしないといけない」等の答え方でも結構です。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

π＝直径１の円周＜円の外接正ｎ角形の外周＝n*tan(π/n)

tanθ=2tan(θ/2)/(1-(tan(θ/2))^2)
から
tan(θ/2)=(√(1+(tanθ)^2)-1)/tanθ

ルートの計算を手計算でできるなら、
tan45°=1
tan22.5°=√2-1=0.41421356
から、順次11.25°、5.625°、2.8125°までのタンジェントを計算すれば、
正64角形の外周(≒3.144118)が求まります。

計算量は、
tan(2.8125°)の計算に、２乗の計算とルート計算と割り算が３回ずつ、
最後に64倍。

A4用紙１枚あれば十分ではないですか。

お礼

No.1のお礼が間違っていたので、この質問を参考にされる方のために…。

加法定理から、tan(π/4)とtan(π/6)を用いて
　tan(π/12)=2-√3
が得られるので、ここに上記の半角の公式を使うと
　tan(π/24)=(√3-√2)(√2-1)
となって、もう2回上記の半角の公式を使って、tan(π/96)を
求めれば半径1の円に外接する正96角形の周の長さ3.1427…
が得られそうです。
こちらの方が小数の計算が少なくて済みそうなので…。

ありがとうございました。

回答No.1

puyo3155

よく知らている級数（オイラーとか、マチンとか、収束の早い関数を選べば）を使って、机上で計算すれば、数分から１０分ぐらいで、少数点２桁程度なら出ますよね。

幾何学的に出すんなら、

円の外に接する正ｎ角形の外周＞　円周　＞　内に接する正ｎ角形の外周

を根気よくもとめれば、昔のアルキメデスがやったように、正９６角形（うる覚え）ぐらいまでいくと、２、３桁の精度は出たと思う。ただし、時間は莫大ですね。

お礼

加法定理から、tan(π/4)とtan(π/6)を用いて
　tan(π/24)=√2-1
が得られるので、ここにNo.2の方の半角の公式を使うと
　tan(π/48)=(√3-√2)(√2-1)
となって、もう1回No.2の方の半角の公式を使って、
tan(π/96)を求めれば半径1の円に外接する正96角形の周の長さ3.1427…
が得られそうです。ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
オイラーは1時間で20桁まで計算していたんですね。