前にも質問したんですが・・・

質問

ｙ＝sin2x+2cos2x-4cos^2ｘ(0゜≦ｘ≦360°）ついて
sinx+cosx=tとおくとき、tの範囲を求めよ。またyをtであらわせ。

以前にも質問したんですが、問題が間違ってたのでもう1度書きました。式を教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

三角関数の合成により
t=sinx+cosx=√2・sin(x+45°)
で，0゜≦ｘ≦360°より－1≦sin(x+45°)≦１
なので
－√2≦t≦√2

sinx+cosx=t
の両辺を2乗して
sin^2 x +2sinxcosx +cos^2 x =t^2
⇔ 1+ +2sinxcosx =t^2
⇔ 2sinxcosx =t^2 -1
すると倍角の公式より
sin2x=2sinxcosx =t^2 -1・・・（１）
cos2x=2cos^2 x -1・・・（２）
これらを与式の右辺に代入して
ｙ＝sin2x+2cos2x-4cos^2ｘ
　＝t^2 -1+2(2cos^2 x -1)-4cos^2ｘ
　＝t^2 -1+4cos^2 x -2 -4cos^2ｘ
　＝t^2 -3

お礼

ありがとうございました。やっと理解できました。
数学は難しいですね・・・

回答No.2

i536

No.1にoshiete_gooさんの正解がすでにありますが、
折角書いたので回答しときますね。

【tの範囲】
t = sinx + cosx
　=√2(sinx * (1/√2) + cosx *(1/√2))
　=√2(sinx * cos 45° + cosx * sin 45°)
　=√2 * sin(x + 45°)

0゜≦ｘ≦360°ですから、-1≦sin(x + 45°)≦1 .
したがって、tの範囲は、-√2≦t≦√2.

【yをtであらわせ】
sin^2x + cos^2x =1、(sinx + cosx)^2 = 1 + 2*sinx*cosx
に注意して計算します。

ｙ＝sin2x+2cos2x-4cos^2ｘ
　=2*sinx * cosx + 2( cos^2x - sin^2x) -4cos^2ｘ
　=2*sinx * cosx - 2* cos^2x - 2*sin^2x
　=2*sinx * cosx - 2(sin^2x + cos^2x)
　=2*sinx * cosx - 2
　=((sinx + cosx)^2 -1) - 2
　= t^2 - 3.

お礼

ありがとうございます。やっと分かりました☆