絶対値のつく積分

質問

∫1,-1(│t-sinX│+│t-cosX)dt
=1/2(sinX+1)二乗+1/2(sinX-1)二乗+1/2(cosX+1)二乗
+1/2(cosX-1)二乗
sin,cosが-1から1の範囲を動くからこうなるらしいんですけど・・・よくわからないので教えて下さい。

回答No.2

debut

＞∫[-1→sinX]-←何で-がここにつくのですか？

　回答にも書いたように、ｔが－１≦ｔ≦sinX　のときには
　ｔ－sinX　の値はマイナスになります。
　絶対値の中がマイナスのとき、絶対値をはずすには絶対値の中にマイナス
　をかけてはずすから、｜ｔ－sinX｜＝－(ｔ－sinX)となります。

　例えば－２の絶対値は２で、｜－２｜＝－(－２)のように式で表すこと
　と同じです。

　よって、後半のcosの部分も、
　　∫｜t-cosX｜dt＝∫[-1→cosX]-(t-cosX)dt+∫[cosX→1](t-cosX)dt
　のようになります。

お礼

そういうことだったんですね。補足まで解説してもらってありがとうございました。

回答No.1

debut

sinXが－１と１の間にあるから、－１≦ｔ≦sinX　と　sinX≦ｔ≦１　で
積分範囲をわけて、しかも絶対値のはずしかたも考えれば
前半部分は
∫[-1→1]｜ｔ－sinX｜dt＝∫[-1→sinX]-(ｔ－sinX)dt＋∫[sinX→1](t-sinX)dt
∵－１≦ｔ≦sinXのときｔ－sinX≦０だから絶対値は－をかけてはずす
　sinx≦ｔ≦１　のときｔ－sinX≧０だから絶対値はそのままはずす

後半のcos のところも同じです。

補足

解説をありがとうございました。疑問なところがあるのでまた、教えて下さい。
∫[-1→1]｜ｔ－sinX｜dt＝∫[-1→sinX]-(ｔ－sinX)dt＋∫[sinX→1](t-sinX)dt
の式で　　　　　　　　　
∫[-1→sinX]-←何で-がここにつくのですか？