絶対値の問題

質問

ｘ、ｙが実数のとき、｜x｜÷（1+｜x｜)＋｜y｜÷(1+｜y｜)＝｜x+y｜÷(1+｜x+y｜)が成り立つx，yの条件を教えてください。分数表記ができないので割り算で表現しました。x＝y＝0のとき以外にあるのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

x=0のとき
任意のyについて
等号が成立することは自明です。

y=0のときも
任意のxについて等号が成立する事は自明です。

x≠0かつy≠0の時
x,y,(x+y)の正負で場合分けして括弧をはずし
(左辺)-(右辺)＞0
となることを示せば良いでしょう。

そうすれば等号が成立するのがx=0またはy=0の場合だけであることが示せます。
根気よくやってみてください。
x>0,y>0の場合のみやってみると
(左辺)-(右辺)=xy(2+x+y)/{(1+x)(1+y)(1+x+y)}＞0
となります。

お礼

誠に御丁寧な回答をありがとうございました。大変わかりやすく感謝いたします。

回答No.3

noname#47975

まず、

|x|/(1+|x|) + |y|/(1+|y|) = |x+y|/(1+|x+y|)

(1+|x|) ≠ 0 , (1+|y|)≠0,(1+|x+y|)≠0となるので、
両辺に(1+|x|)(1+|y|)(1+|xy|)を掛けて計算し整理していくと、

|x|(1+|y|)(1+|x+y|)+|y|(1+|x|)(1+|x+y|)=|x+y|(1+|x|)(1+|y|)
(|x|+|xy|)(1+|x+y|)+(|y|+|xy|)(1+|x+y|)=|x+y|(1+|x|+|y|+|xy|)

⇔|x|+|xy|+|x+y||x|+|xy||x+y|+|y|+|xy|+|x+y||y|+|xy||x+y| =|x+y|+|x||x+y|+|y||x+y|+|xy||x+y|

⇔|x|+|xy|+|y|+|xy|+|xy||x+y| = |x+y|
⇔|x|+|y|+2|xy|=(1-|xy|)|x+y|-----(1)

ここで、

|x|+|y|+2|xy|≧|x|+|y|≧|x+y|≧(1-|xy|)|x+y|----(2)
が成立するわけですが、(1)を満たすためには、これらが全て等号で
結ばれなければなりません。すなわち、以下の(3)を全て満足させる
ようなx,yの条件を考えればよいわけです。

|x|+|y|+2|xy|=|x|+|y|=|x+y|=(1-|xy|)|x+y|-----(3)

まず、|x+y|=|x+y|(1-|xy|)となるのは、
|xy|=0または、|x+y|=0のときである。
|xy|=0のとき、すなわち、x,yのうち少なくとも一方が０になる場合で
あり、この場合は確かに(3)が成立する事から(1)も成立する。

後、|x+y|=0については、
|x|+|y|=|x+y| = 0 を満たすようなx,yはx=y=0のみであり、
結局は|xy|=0となる事から、前者の条件の中に含まれることは
明らかです。

よって、題意を満たすx,yの条件はx,yのうち少なくとも一方が０になる場合
に限るという事が結論付けられます。

お礼

懇切丁寧な記述回答をありがとうございました。大変参考になりまして感謝いたしております。ありがとうございました。

回答No.1

info22

＞x＝y＝0のとき以外にあるのでしょうか？
x=y=0（x=0かつy=0）ではなくて
x=0 またはy=0
です。

一般の(x,y)では
(左辺)≧(右辺)
等号はx=0またはy=0
のときのみ成立します。
（３次元グラフィックソフトで左辺と右辺を半透明の色づけして重ねてプロットして、グラフを３次元的に回転し、あらゆる視点から上下関係を確認しました。）

お礼

ありがとうございました。ところで、求め方は絶対値の記号を外して（場合分けして）考えるのでしょうか？