固有ベクトルの問題について

質問

ご教授お願いします。

「　
3×3の行列
A=
|p　 -1 　 1|
|q 　-1 -1|
|-2 　0 　0|

Aの固有ベクトル
b=
| 1|
| 2|
|-1|

の時、p,qを定めよ
」

という問題が解答できません。

具体的な解答法をご存知の方がおられましたら、
ご教授お願い致します。

回答No.1

tinantum · ベストアンサー

ただAをbに作用させて，固有ベクトルになっている事実を使えば出ます．すなわち，ある数αが存在して，
A b=α b
を満たしていなくてはいけませんね．
実際計算するｔ
Ab =
|p　 -1 　 1| |1| |p-3|
|q 　-1 -1 | |2|　= |q-1|
|-2 　0 　0 | |-1| |-2|
で，
α b =
|α|
|2α|
|-α|
なので，
各要素を比較すると，
p-3 = α
q-1 = 2α
-α = -2
よって，p = 5, q = 5を得ます．(ちなみに固有値はα=2)

お礼

素早いご対応、また詳細な解説ありがとうございます！

固有ベクトルがどういった性質を持っているのかよく理解できて
おらず、途方にくれていましたので非常に助かりました。

固有ベクトルの問題の場合、まず固有値を求めて
それから固有ベクトルを出す、という問題に馴れていましたので
この様な「逆の作業をする」類の問題は初見でした。
付け焼刃の知識ではやはり駄目ですね。

ご解答ありがとうございました。

回答No.3

tinantum

スペースがずれて見ずらくなりましたが
|p　 -1 　 1| |1| |p-3|
|q 　-1 -1 | |2|　= |q-1|
|-2 　0 　0 | |-1| |-2|
の部分は
|p　 -1 　 1| |1|
|q 　-1 -1 | |2|　
|-2 　0 　0 | |-1|
=
|p-3|
|q-1|
|-2|
です

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
コンピュータ関係ではよく線形代数を使用するようなので
数学があまり好きになれない私ですが、少しづつ勉強していきたいと
思います。

ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

もう 1つ, 「A に対する b の固有値」を変数において「b が A の固有ベクトルである」という式を立ててください.

お礼

ご対応ありがとうございます。

b=
| 1|
| 2|
|-1|

より、

x:y:z = 1:2:-1

の関係を用いて
|λE-A|
=
|λ-p　 　1 -1|
|-q 　 λ+1 　1| 　　* (1 2 -1)T
|2 　 0 　 　 λ|

を解き、λ=2 , λ-p+3=0 , 2λ-q+1=0

より求めよ、との事でしょうか。
ご対応ありがとうございました。