分散関係

質問

w=vkという分散の関係式が成立する場合としない場合の違いがわかりません。
たとえば電磁場などでは成立していますが、N質点の連成振動などではwはsinの関数で表されています。どういった場合ならw=vkが成立するのでしょうか？
直感的には、方程式が線形か非線形の違いに由来するような気がしているのですが。

回答No.1

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

sin k も k が小さいところでは、展開し k に比例しますよ。

> 直感的には、方程式が線形か非線形の違いに由来するような気がしているのですが。

ここでいう方程式は、波動方程式でしょうか。
そうだとしたら、それには由来しません。
量子力学の波動方程式はいつも線形ですよ。

普通よく言われることは、励起に質量があるかどうかです。

ω = √(k^2 + m^2)

で、電磁波・光子には質量がないので、m = 0 に置くと、ω ∝ k になりますね。
（定数は適当にスケールして1におきました。）

一方、m ≠ 0 のときに、kが小さいところでは、

ω = m + k^2/2m になり、定数を除いた部分は ∝ k^2 になります。

N質点の連成振動では、質点には質量がありますが、その集団励起には質量がありませんので、ω∝k になります。（kが小さいところで。）

その他、考えている系の空間対称性や、時間反転対称性や、いろんなことに関係します。

お礼

解答ありがとうございます。結局質量があるかないかが重要で、波数が小さいときは、近似できるのですね。
助かりました、感謝しています。