剛体で支持された質点の振り子

質問

振り子に関してですが、、

「質点 m の小さな物体が長さ R の軽くて細い剛体棒の先端に取り付けられている振り子がある。この振り子の運動方程式は、周方向の力の平衡、および剛体棒と鉛直軸のなす振れ角 θ と質点の収束 v の関係から

dθ / dt = (1 / R) v
dv / dt = -g sinθ

と書ける。ここで、

v = φ √（R・g）
t = τ √ (R / g)

とおいて、上の運動方程式を変数 φ 、変数 θ を従属変数、τ を独立変数とする方程式に書き直せ。ただし重力加速度を g とする。」

という問題があるのですが、なかなかうまく φ と θ の式にすることができませんので、よろしくお願いします・・・・。

また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか？

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。
単にｖ、ｔを消去すればよいと思いますが。

dθ / dt = (1 / R) v　　・・・（あ）
dv / dt = -g sinθ　　・・・（い）
v = φ √（R・g）　・・・（う）
t = τ √ (R / g)　・・・（え）

（あ）と（う）より
dθ / dt = (φ / R) √（R・g）
つまり、
dθ / dt = φ・√（g/R）　・・・（か）

（う）より、
dv/dt = dφ/dt √（R・g）
これを（い）に代入すれば
dφ/dt √（R・g） = -g sinθ
つまり、
dφ/dt = √(g/R)・sinθ　・・・（き）

（え）より、
t = τ √ (R / g)　・・・（え）
dt = dτ・√ (R/g)　・・・（く）

（か）と（く）より、
dθ/dτ・√ (g/R) = φ・√（g/R）
つまり、
dθ/dτ = φ　・・・（さ）

（き）と（く）より
dφ/dt・√ (g/R) = √(g/R)・sinθ
dφ/dt = sinθ　・・・（し）

書き直した方程式とは、（さ）と（し）です。

＞＞＞
また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか？

問題文で「sinθ ≒ θ　としてよい」との指示があればＯＫですけれども、そうでなければ、勝手に　sinθ ≒ θ　としてはいけません。

お礼

丁寧な回答、ありがとうございました！
どうやら従属変数と独立変数というものの表現の仕方を、少し勘違いしていたようです・・・・。
しかし、おかげですっきり理解することができましたm(__)m

回答No.3

sanori

符号の付け忘れ、失礼しました。
（＃２様に感謝）

いつもこんな調子なので、「自信あり」の回答ができないんです。（笑）

回答No.2

yokkun831

先をこされたようです。

これは，もはや物理を離れて，道具としての数学の問題ですね。
θ(τ)とφ(τ)の連立微分方程式をつくれというのが題意です。
与えられた２式をすなおに書き換えましょう。
dθ/dτ = dθ/dt・dt/dτ　などを使います。sinθ=θは微小
振動の近似であり，今はこれを前提としていませんから，使っ
てはいけません。そのまま放っときましょう。

最後はdθ/dτ とdφ/dτ の２式になりますよ。ANo.1さんの
計算，-sinθのマイナスどっかいっちゃいました。

お礼

回答、ありがとうございます！
私は題意自体を少し勘違いしていましたので、この回答はとても役に立ちました。
また質問するようなことがあれば、そのときはよろしくお願いしますm(__)m