高校レベルの運動力学

質問

高校で学習する質点の運動として
等加速度運動、円運動、単振動、単振り子 などがありますが、
これらは,主として 線形2階微分方程式などで記述できることから
そのような微分方程式の観点から再度理解したいと思っています。
そうすることで,大分スマートに整理できるような気がするからです。
大学教養or初学年で習う古典力学ほどでもなく整理しようとしたら、どのように整理するのが妥当でしょうか？
(高校3年の微積分を理解している人が高校物理を必要としている人にとってちょうどいい具合で )

回答No.4

First_Noel · ベストアンサー

＞この要請からニュートン方程式、ハミルトン方程式だけだと
＞個別の運動毎に式を考える必要があるので、不十分と言うことになります。)

運動方程式は統一されているので，これ以上まとめる必要はありません．
ベクトルと行列，又はテンソルを導入すれば，多次元の運動，
剛体も質点も含めて，たったひとつの運動方程式に尽きます．

あとは「如何に簡単に記述するか」「如何に微分方程式を解くか」が，
個別の問題となります．お示しになられた１－１～１－５は，
この過程で個別の問題のように分けられたに過ぎません．

円運動はカーテシアン座標でも書けますが，極座標を使った方が簡単に書けます．
よく使われる（ｘ，ｙ，ｚ），（ｒ，θ，ｚ），（ｒ，θ，φ）は，
いずれも正規直交座標系です．

簡単に書くために「総和規約」を用いるのも手です．

運動方程式を解く為に，必要とあらば複素数を代入したり，
特殊関数を導入したりすることは必要ですが，
これは微分方程式の数学的な取り扱いによるものです．

「解き方」や「簡単の為の記述の仕方」を分かりやすくするので，
お示しになられた１－１～１－５のような個別の式になる訳です．
これらを統一的に記述したいなら，運動方程式の一般解で表せば良く，
一般解の中に積分が残ったり，その結果特殊関数が入ったりすることもあり得ますが，
これはあくまで解き方の問題です．

お礼

ご回答ありがとうございます。
学が足りないために、なかなか理解できませんでしたが、
First_Novel様のご回答から受けた印象は、
色々な手法でもって個別の運動を考えることができ、
またそのような方法を用いればいいというです。
微分方程式を立てる以外にも色々な手法を利用したいと思います。

回答No.3

First_Noel

高３程度と限定します．

＞そうすることで,大分スマートに整理できるような気がするからです。

解析力学に踏み込まないならば，

m d^2x/dt^2 = F

に尽きますね．線形に限ることもありません．
解きにくいなぁと思えば，上記に複素平面を導入するのも手です．
例えば単振動は，複素平面上での円運動の実部が見えていると考えます．
逸脱しますが，ラプラスの方法でエイヤ！と解くのも手です．

高校物理に限定せずとも，宇宙機の軌道，制御工学などなど，
全て始まりは上記のニュートンの運動方程式です．

解析力学に踏み込むのでしたら，＃２さまおっしゃるように，
ハミルトンやラグランジュの方程式です．

補足

ご回答ありがとうございます。
返事の方が遅くなって申し訳ありませんでした。

問題がやや曖昧だったと思います。設問をもう少し具体的に設定しなおします。
1. 説明したい運動の種類の範囲(高校の古典力学で習う運動)具体的には、
1-1 等加速度直線運動…x(3)=0
1-2 等加速度平面運動(ex 重力落下など)…x(3)=0,y(1)=0
1-3 円運動…x(2)+a*x(0)=0,y(2)+a*y(0)=0,x(t)=y(t+π/(2ω))
1-4 単振動…x(2)+a*x(0)=0
1-5 単振り子…ちょっと度忘れ… しーた(2)=-(l/g)sin(しーた)
などとあらわせますが、
これら以外の運動の種類を包含してもよいので、運動方程式の量をできるだけ少なくする。

2. 運動方程式は、微分方程式、ベクトル方程式などを使用可としますが、せいぜい大学の一般教養レベルの内容の式とします。(* 線形常微分方程式は可とします)
より簡潔に記述できるのであれば、複素数を用いるのも可とします。

3. 式を建てるときに使われる座標系は基本的に静止直交座標系、どうしても都合が悪いときは、できるだけ理解しやすい他の座標系でも可)

4. 1.で述べた各種の運動を考察せずとも方程式さえ解けば求められるようにしておく。(つまり、式を建てる過程はしなくてもよい状態に持っていき、計算さえすればよい状態にしておく → この要請からニュートン方程式、ハミルトン方程式だけだと個別の運動毎に式を考える必要があるので、不十分と言うことになります。)

分かりにくい説明でしたら、申し訳ありませんが、このような設問でお答えいただけたら幸いです。よろしくお願いします。

回答No.2

tomtom_

やっぱり，解析力学を用いて統一的に理解してみるのが良いと思います．

たった一つの方程式，ハミルトンの正準方程式で全ての現象を記述できる美しさは，なによりもスマートだと思います．

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/physFormula/html/node2.html

補足

ご回答ありがとうございます。
返事の方が遅くなって申し訳ありませんでした。

問題がやや曖昧だったと思います。設問をもう少し具体的に設定しなおします。
1. 説明したい運動の種類の範囲(高校の古典力学で習う運動)具体的には、
1-1 等加速度直線運動…x(3)=0
1-2 等加速度平面運動(ex 重力落下など)…x(3)=0,y(1)=0
1-3 円運動…x(2)+a*x(0)=0,y(2)+a*y(0)=0,x(t)=y(t+π/(2ω))
1-4 単振動…x(2)+a*x(0)=0
1-5 単振り子…ちょっと度忘れ… しーた(2)=-(l/g)sin(しーた)
などとあらわせますが、
これら以外の運動の種類を包含してもよいので、運動方程式の量をできるだけ少なくする。

2. 運動方程式は、微分方程式、ベクトル方程式などを使用可としますが、せいぜい大学の一般教養レベルの内容の式とします。(* 線形常微分方程式は可とします)

3. 式を建てるときに使われる座標系は基本的に静止直交座標系、どうしても都合が悪いときは、できるだけ理解しやすい他の座標系でも可)

4. 1.で述べた各種の運動を考察せずとも方程式さえ解けば求められるようにしておく。(つまり、式を建てる過程はしなくてもよい状態に持っていき、計算さえすればよい状態にしておく → この要請からニュートン方程式、ハミルトン方程式だけだと個別の運動毎に式を考える必要があるので、不十分と言うことになります。)

分かりにくい説明でしたら、申し訳ありませんが、このような設問でお答えいただけたら幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

physicsache

質点系の力学の基本は、もちろんニュートンの運動方程式ですね。

等加速度運動、円運動、単振動、単振り子 などは、
全て運動方程式を作れば解けちゃいます。

どのように整理・・・というところがいまいちピンときません。

質点系の力学の問題は、座標軸方向ごとに運動方程式をたてる。
３次元なら、x軸,y軸,z軸それぞれの方向ごと
運動方程式つくればもう完璧なんではないでしょか。

補足

ご回答ありがとうございます。
返事の方が遅くなり申し訳ありませんでした。
問題がやや曖昧だったと思います。設問をもう少し具体的に設定しなおします。
1. 説明したい運動の種類の範囲(高校の古典力学で習う運動)具体的には、
1-1 等加速度直線運動…x(3)=0
1-2 等加速度平面運動(ex 重力落下など)…x(3)=0,y(1)=0
1-3 円運動…x(2)+a*x(0)=0,y(2)+a*y(0)=0,x(t)=y(t+π/(2ω))
1-4 単振動…x(2)+a*x(0)=0
1-5 単振り子…ちょっと度忘れ… しーた(2)=-(l/g)sin(しーた)
などとあらわせますが、
これら以外の運動の種類を包含してもよいので、運動方程式の量をできるだけ少なくする。

2. 運動方程式は、微分方程式、ベクトル方程式などを使用可としますが、せいぜい大学の一般教養レベルの内容の式とします。(* 線形常微分方程式は可とします)

3. 式を建てるときに使われる座標系は基本的に静止直交座標系、どうしても都合が悪いときは、できるだけ理解しやすい他の座標系でも可)

4. 1.で述べた各種の運動を考察せずとも方程式さえ解けば求められるようにしておく。(つまり、式を建てる過程はしなくてもよい状態に持っていき、計算さえすればよい状態にしておく → この要請からニュートン方程式、ハミルトン方程式だけだと個別の運動毎に式を考える必要があるので、不十分と言うことになります。)

分かりにくい説明でしたら、申し訳ありませんが、このような設問でお答えいただけたら幸いです。よろしくお願いします。