べき級数法での解法

質問

べき級数法により以下の問題を解くのですが良く分かりません。
どなたか教えていただけませんか？

x'' - 2tx' - 2x = 0
条件x(0)=1、x'(0)=0

x'はxの1回微分、x''はxの2回微分です。
xはtの関数x(t)です。

回答No.2

zabuzaburo · ベストアンサー

以下はかなり見にくいので、
ご自分でも式を書きながら読まれると良いと思います。

x(t) = c[0] + c[1]・t + c[2]・t^2 + c[3]・t^3 + ……
と展開されるとすると、
x'(t) = c[1] + 2c[2]・t + 3c[3]・t^2 + 4c[4]・t^3 + ……、
x''(t) = 2c[2] + 6c[3]・t + 12c[4]・t^2 + 20c[5]・t^3 + ……
です。もとの微分方程式は
「 x'' と -2tx' と -2x を加えると0になる」
ということから、この三者を並べると
x''(t) = 2c[2] + 6c[3]・t + 12c[4]・t^2 + 20c[5]・t^3 + ……
-2tx'(t) =　　　　- 2c[1]・t - 4c[2]・t^2 - 6c[3]・t^3 - 8c[4]・t^4 - ……
-2x(t) = - 2c[0] - 2c[1]・t - 2c[2]・t^2 - 2c[3]・t^3 - ……
となります。本当はtの次数ごとに縦に揃えて書きたいところです。
これらを縦に加え合わせると、左辺は条件から0であり、
0 = (2c[2] - 2c[0]) + (6c[3] - 4c[1])・t + (12c[4] - 6c[2])・t^2 + (20c[5] - 8c[3])・t^3 + ……
これがtについての恒等式となりますから、全ての係数は0であり、
2c[2] - 2c[0] = 0 より、c[2] = c[0]
6c[3] - 4c[1] = 0 より、c[3] = (2/3)c[1]
12c[4] - 6c[2] = 0 より、c[4] = (1/2)c[2]
20c[5] - 8c[3]= 0 より、c[5] = (2/5)c[3]
というふうに、c[k] が2つ前の c[k-2] から順次定まって行くのが分かります。
この漸化式を一般化して、c[0]およびc[1]が与えられれば、
c[k]の一般項が求まり、x(t)も求まるわけです。
さきに初期条件を片付けておきましょう。
x(0) = c[0] = 1、x'(0) = c[1] = 0となりますね。

そして、上の具体例から考えれば、一般の漸化式は
c[k + 2] = [2 / (k + 2)]・c[k]
となります。ここはよく考えて納得してください。
これを用いれば、偶数のkに対しては、
例えばc[10] = (2/10)c[8] = (2/10)・(2/8)・c[6]
= …… = (2/10)・(2/8)・(2/6)・(2/4)・(2/2)・c[0]
= (1/5)・(1/4)・(1/3)・(1/2)・(1/1)・c[0]
= c[0] / 5! = 1 / 5!となりますから、
c[k] = 1 / [(k / 2)!] であると分かります。
kが奇数のときはもう少しややこしいのですが、
いま幸運にも c[1] = 0 であるので、
奇数のkに対してはc[k]は全て0となります。

以上より、
x(t) = 1 + (t^2) + (t^4)/(2!) + (t^6)/(3!) + (t^8)/(4!) + ……
これは、t^2をカタマリ(s)として見れば
1 + s + (s^2)/(2!) + (s^3)/(3!) + (s^4)/(4!) + ……
= e^s ですから、x(t) = e^(t^2)となります。ふう(^^;)

お礼

下記も方同様、ありがとうございました。
回答を参考に自分でもやってみた結果、何とかできました。
分かりやすい説明でした。
また何かありましたら宜しくお願いします。
(実はもう1題あるんですが・・・)

回答No.1

oshiete_goo

x(t)=Σ{k=0 to ∞}a_{k}t^k
の形において，条件x(0)=1、x'(0)=0 より
a_0=1, a_1=0・・・(1)であり，

以下t^n (n≧0)の係数について
(n+2)(n+1)・a_{n+2}-2n・a_{n}-2・a_{n}=0
⇔ (n+2)(n+1)・a_{n+2}-2(n+1)・a_{n}=0
⇔ (n+2)a_{n+2}-2a_{n}=0
⇔ a_{n+2}=2a_{n}/(n+2)
これを初期条件(1)のもとに解く．

nが奇数のとき すべての a_{n}=0
nが偶数2mのとき
a_{2(m+1)}=2a_{2m}/{2(m+1)}=a_{2m}/(m+1) に注意すると
b_m=a_{2m}とすれば分かるように，一般項a_{2m}=b_m=1/m!
a_2=1, a_4=1/2, a_6=1/(3!),...

結局 nが偶数2mのとき すべての a_{n}=1/m! (0!=1に注意)で
x(t)=Σ{m=0 to ∞}{t^(2m)}/m!=1+t^2+t^4/2!+t^6/3!+t^8/4!+...
となります．

お礼

本当に分からなくて困っていました。
大変ありがとうございました。
実のところ，もう1題分からないのがあるんですが，そちらの方もお願いできないでしょうか？
どうか宜しくお願いします。