宿題の解き方を教えてください（ベータ、ガンマ関数の問題だと思います）

質問

∫[0→1]t^(x-1)*(1-t)^(y-1)*dt/(t+a)^(x+y)をΓ関数であらわせ、という問題です（ただしx,y,a>0）
∫[0→1]t^(x-1)*(1-t)^(y-1)はベータ関数そのままなので何か使えるような気はしますが・・

回答No.1

mazoo · ベストアンサー

まず
t+a=s
と変数変換します。
少し計算すると、
∫[a→a+1](1-a/s)^(x-1) * ((1+a)/s - 1)^(y-1) * ds/s^2
になると思います。
次に、
1/s = u
と変数変換します。
また少し計算すると、
a^(x-1)*(a+1)^(y-1)∫[1/(a+1)→1/a](1/a-u)^(x-1)*(u-a/(a+1))^(y-1)du
となります。
最後に
v=(u-1/(a+1))/(1/a - a/(a+1))
と変数変換します。
計算していくと、
Γ(x)Γ(y)/((a+1)^x*a^y*Γ(x+y))
となります。
細かい計算はご自身でどうぞ、
聞きたいところがあれば聞いてください。
もっとスマートな回答があるかもしれませんが、、、

回答No.4

mazoo

11行目の式ですが、私の記述が間違っています。
shuntiさんの式であっています。すみません。

最後の答えが合わない件ですが、shuntiさんの式からもう少し変形すれば、私の答えと同じになると思います。
Γ関数であらわせということなので、
Β(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
を用いてΒ関数をΓ関数で書き換えます、

また
1/a - 1/(a+1) = 1/(a(a+1))
を用いて前半部分も書き換えてください、、

お礼

できました、余計な手間をおかけいたしました^^;
計算が割とたいへんでしたができてしまえば・・という感じでしたね。
何回もありがとうございました。

回答No.3

mazoo

また間違えました、
v=(u-1/(a+1))/(1/a-1/(a+1))
です。何度もごめんなさい、、

お礼

http://hako2wa.dyndns.org/upload3/count.cgi?up0047.jpg
こちらに計算過程を載せておきましたのでご覧いただければわかりやすいかと思います。
計算結果が最後合いません、、、
質問なのですが最初のご回答の１１行目
＞a^(x-1)*(a+1)^(y-1)∫[1/(a+1)→1/a](1/a-u)^(x-1)*(u-a/(a+1))^(y-1)du
の部分なのですが＞(u-a/(a+1))^(y-1)duの部分、私は(u-1/(a+1))^(y-1)duとなったのですが、mazooさんの答えは正しいので私の計算ミスでしょうか・・？

回答No.2

mazoo

先ほどの回答で記入ミスがありました。
v=(u-1/(a+1))/(1/a - a/(a+1))
です、、、