三角形の性質

質問

AB＞ACである三角形ABCにおいて、Aから直線BC上に下ろした垂線AH上に点Aとは異なる点Pをとると、AB－AC＜PB－PCとなることの証明ですが三平方の定理を使わずに直観的、図形的な方法を教えてください

回答No.5

staratras · ベストアンサー

以下の証明は三平方の定理や三角形の相似を使っていません。

三角形ABCの辺AB上にAC’=ACとなるように点C’を、また三角形PBCの辺PB上にPC”=PCとなるように点C”をそれぞれとる。AB-AC=AB-AC'=BC'、PB-PC=PB-PC"=BC" だからAB-ACとPB-PCの大小を比較するには、BC’とBC”の大小を比較すればよい。

ここで点Aを中心とする半径ACの大円と点Pを中心とする半径PCの小円を考えると、点Pの位置にかかわらず、この2円は点Cのほか、辺BCにＡから降ろした垂線をAHとするとCH＝DHとなる辺BC上の点Dで必ず交わる。なぜならば三角形AHC≡三角形AHDよりAC＝AD、三角形PHC≡三角形PHDよりPC＝PDだからである。

小円は両端を除く劣弧CDの間でのみ大円の外側にあり、それ以外では大円上または内側にある。C”は小円上の点である。点Pは垂線AH上にあるが、点Pが点Aに一致したとき点C”は点C’と一致し、点Pが点Hに一致したとき点C”は点Dと一致する。この両端以外では点Pの位置にかかわらず点C”は大円の内部にある。

ここで点Bを中心とする半径BC’の円を考えると、この円は点C’で大円と接するので大円の内部の点C”についてと、点C’を除く大円上の点C”(点Dと一致した場合）については、常にBC’<BC”が成り立つ。よってAB-AC<PB-PC である。

お礼

ご回答ありがとうございます。
よく理解できました。２円の交点は最大２個３領域。円の領域内の点の中心からの距離は当然半径より小となるということですね。このような円の使い道初めて知りました。どうもありがとうございました。

回答No.17

178-tall

>∠Cが鈍角の場合はこの式でいいことを理解しました。

∠Cが鋭角の場合に AH で折りかえした図形を想定してます。

終幕は「単なる移項」なので端折ってました。
あらためて明記。

>折り返してみると、AC と PB が交差する。
>その交点を Q とでもすると、
>　AQ+QB > AB
>　PQ+QC > PC
>なる「三角不等式」が成立。
>その和が、
>　AC+PB > AB+PC
>でチョン。

　AC+PB > AB+PC
　　　　↓
　PB- PC > AB-AC

お礼

度々のご回答おそれいります。
全体が理解できました。
ありがとうございました。

回答No.16

178-tall

< ANo.1
>お礼
>…　解答はなくヒントとして、AC+PB＞AB+PCとして考えよ、としかかいてありません。

　　　↑
今ごろ、これに気付きました。
垂線 AH は折り返し用の補助線だった。

折り返してみると、AC と PB が交差する。
その交点を Q とでもすると、
　AQ+QB > AB
　PQ+QC > PC
なる「三角不等式」が成立。
その和が、
　AC+PB > AB+PC
でチョン。

…を予期するヒントでしたネ。

お礼

＞AC+PB > AB+PC

∠Cが鈍角の場合はこの式でいいことを理解しました。
∠Cが鋭角の場合
「点CのAHに対する折り返し点が線分BH上に位置する」
ことを三角形の辺と角の関係で確認し鈍角の場合に帰着させるということですね。
ありがとうございました。

回答No.15

178-tall

< ANo.14

>>小円は両端を除く劣弧CDの間でのみ大円の外側にあり、それ以外では大円上または内側にある。
>
>いったんこれを了承すれば、あとの推論はスイスイと理解できます。
>幾何派ならば、この命題をどのように「証明」なさるのか？ … だけが知りたいところでした。

その命題の論拠は、
　AP + PC > AC
なる「三角不等式」ですネ。

「三角不等式」による証明に要する手続き、ようやく判りかけてきました。
汗顔のいたり…。

回答No.14

178-tall

< ANo.12

>幾何的証明へ目を転じると、異心 2 円の重なり具合からの推論で果たして証明が完結しているのか、まだ判断できずにおります。
>図を一見すりゃ明白だろ、といわれれば一言も返せないのが現況ですけと…。

「幾何的証明」に難点があるわけじゃありません。ザッとみた感想です。

>小円は両端を除く劣弧CDの間でのみ大円の外側にあり、それ以外では大円上または内側にある。

いったんこれを了承すれば、あとの推論はスイスイと理解できます。
幾何派ならば、この命題をどのように「証明」なさるのか？ … だけが知りたいところでした。

回答No.13

staratras

No.5です。少し視点を変えるとこの問題の図形的な背景がわかります。

AB>ACである三角形ABCが与えられれば、AB-ACは一定の値になります。
このとき三角形ABC内の点Pについて　PB-PCとAB-ACの大小を考えます。

PB-PC=AB-AC となる点Pは、要するに２定点B、Cとの距離の差が一定値である点の集まりのうちPB>PCの方だから、B、Cを焦点とする双曲線の片方(三角形の頂点Aを通る方）上にあります。（図の赤い曲線のうち右側の方）

点Pがこの双曲線よりC側にあればPB-PC>AB-ACとなり、B側にあればPB-PC<AB-ACです。

三角形の頂点Aから辺BCに降ろした垂線AH上の点Pは、点Aと一致する場合以外すべて双曲線よりC側にあるので、PB-PC>AB-ACです。

なおこのサイトで以前、AB>ACである三角形ABCにおいて、角Aの２等分線AL上の(点Aを除く)点P’についてP'B-P'C<AB-AC となることを証明せよという問題についてのご質問がありましたが、双曲線上のある点における接線は、そのある点と双曲線の２焦点を結んでできる角を２等分するという双曲線の接線の性質を考えると、こちらの問題の図形的な背景も興味深いと感じます。

お礼

三角形の角の二等分線と辺の比
　　AB：AC＝BL:LC
を、あまりうれしい方法ではありませんが、双曲線とその接線の方程式より導出できました。点Hとして中線，角の二等分線，垂線といろいろありますが
AB＞ACの三角形ではどんなHに対しても
　　AB-AC＞PB-PC、AB-AC＜PB-PCのどちらか
となれば中間値の定理的なものに反すると提示された双曲線入りの図を見て最初感じましたが、よく見ると図で接線をほんの少し左にA中心に回転させると接線が三角形内で、ある点HでAHと交点をもち、そのような点BC上の点H，AH上の点Pに対し
　AB-AC=PB-PC
とできるので（？）不連続感がなくなりよかったです。いろいろ考えさせていただきありがとうございました。

回答No.12

178-tall

>ノルムについては勉強してみます。

「ノルム」はベクトルの内積勘定でした。
「三平方の定理」を利用すれば、もっと直裁的。

三角形 ABH と AHC とは垂線 AH を共有しているので、
　|AB|^2 - |BH|^2 = |AC|^2 - |HC|^2
が成立ち、整形して、
　|AB|^2 - |AC|^2 = |BH|^2 - |HC|^2
…でチョン (拍子木の音) です。

幾何的証明へ目を転じると、異心 2 円の重なり具合からの推論で果たして証明が完結しているのか、まだ判断できずにおります。
図を一見すりゃ明白だろ、といわれれば一言も返せないのが現況ですけと…。

お礼

教示いただいた内積ですがベクトルABをvABと書くことにするとAH⊥HBより
vAB^2=(vAH+vHB)^2=vAH^2+vHB^2=AH^2+HB^2（三平方の定理）
ということですね。内積と三平方はもちつもたれつの関係かもしれませんが
こんな問題にベクトルがでてくるとは驚きで楽しくなります。
肝に銘じておこうと思います。
ありがとうございました。

回答No.11

178-tall

文字のすり替わりだけ訂正。

　|AB|^2 - |AC|^2 = |HB|^2 - |HC|^2

お礼

＞　|AB|^2 - |AC|^2 = |HB|^2 - |HC|^2
　 　|PB|^2 - |PC|^2 = |HB|^2 - |HC|^2
投稿された回答は、AH上の動点Pに対し点B,C,Hは定点なので右辺はPに無関係な定数で、左辺を因数分解し
　積一定⇒「（PB＋PC）↑↓⇒（PB-PC）↓↑」
により所定の題意が成立するということですね。
ノルムについては勉強してみます。
ありがとうごじました。

回答No.10

178-tall

< ANo.9

>ほんとなの？

ほんとらしい。
　|AB|^2 - |AC|^2 = |OB|^2 - |OC|^2
が成立する模様なので…。

回答No.9

178-tall

「禁じ手」は忘れ、問題に含まれる「不変量」についての蛇足でも。…

題意に従い「ノルム」の勘定をしてみると、
　|AB|^2 - |AC|^2 = |PB|^2 - |PC|^2
が成立している模様。

　|AB|^2 - |AC|^2 = ( |AB| + |AC| )( |AB| - |AC| )
なので、|AB| + |AC| が減ると |AB| - |AC| が増える、ということらしい。

ほんとなの？

回答No.8

shuu_01

No.6 です

＞　No.5 さんの証明と僕の証明とまったく同じですね

なんて言ってしまいましたが、No.5 さんは

｜　大円の内部の点C”についてと、点C’を除く大円上の
｜　点C”(点Dと一致した場合）については、
｜　常にBC’<BC”が成り立つ。よってAB-AC<PB-PC である。

と一気に証明しており、

僕の 不等式を２つ並べた証明より、直接的ですね

また、僕には B を中心とする小さな円は別になくても良さそうな
気がしました

かなり似た証明ですが、細かい所はちょっと違ってるようです

とりあえず、カンニングでないとわかって欲しいですｗ