二変数関数の極限値なのですが
いつもお世話になっています。学生です。
微分積分学を読んでいるのですが、不明な所に来てしまい、
質問させていただきました。
まず、
lim[x,y→0,0]xy^2/(x^2+y^2)
を求めよということなのですが、
簡単なやり方として極座標変換して
lim[r→+0]r^3*Cosθ(Sinθ)^2/r^2≦lim[r→+0]r＝0
とすると思います。あるいは
|xy^2/(x^2+y^2)|≦|x|→0
ですよね。これはいいのですが、この問題の注のところに
y=mxとして[x,y→0]のときx→0となることを利用して
lim[x,y→0,0]xy^2/(x^2+y^2)
＝lim[x→0]m^2x^3/(1+m^2)x^2
＝0
とするのは誤りとありました。特定の直線族に沿う近づき方
をしているからいけないということで納得はいきました。
しかし次の問題の別解は叙上のようにy＝mxとするやり方でした。
lim[x,y→0,0](y^3+y^2)/(x^2+y^2)
ところでこれも同様に極座標変換でいくと、最終的に
lim[r→+0](Sinθ)^2+r(Sinθ)^3＝(Sinθ)^2
となって、θの値によってバラバラだから極限値なしが正解です。
別解は、y＝mxとおいて
lim[x→0](m^2+m^3*x)x^2/(1+m^2)x^2
＝lim[x→0](m^2+m^3*x)/(1+m^2)
＝m^2/(1+m^2)
＝0,1/2 （∵m=0とm=1）
よって極限なし。
先の問題でこのような解法は駄目となっていたのに対し
後の問題ではなぜいいのか分かりません。
それから一番最後で
「0,1/2 （∵m=0とm=1）」とわざわざ特定の値を書いているのは
なぜでしょうか。たまたま具体例を示しただけでしょうか。
以上二つ疑問があります。
分かる方ご教授願います。よろしくお願い致します。
補足
返信有難うございます。よくわからないことを言ってしまいました＞＜ ε-δ論法でやっていくとき、、|X^3ーa^3|＝ここから先、どのようなεやδを取っていいのかがわかりません＞＜計算に行き詰ってます＞＜