関数の極限

質問

0＜a＜1とする。y=x∧2とy=a×sinxの原点以外 の交点のx座標をm[a］で表すとき、lim〔a→ +0〕m[a］=0であることを示せ。さらに lim〔a→+0〕m[a］/aを求めよ。

分からなくて困ってます(´д｀)

回答No.1

spinia0120 · ベストアンサー

交点で交わるので、m[a]^2=a*sin(m[a])
⇔a=m[a]^2 / sin(m[a])=m[a]*(m[a]/sin(m[a]))

∴lim[a→+0]a=lim[a→+0]m[a]*(m[a]/sin(m[a]))=0
0<a<1のとき、(m[a]/sin(m[a])>1であるので、（グラフを書けば自明。もしくは微分を使うとわかる。）m[a]=0である。……(1)

交点で交わるので、m[a]^2=a*sin(m[a])
⇔m[a]/a=sin(m[a])/m[a]。また、
(1)よりa→+0でm[a]→+0であるので、
lim〔a→+0〕m[a]/a=lim〔m[a]→+0]sin(m[a])/m[a]=1（∵lim[x→+0]sin(x)/x=1）

だと思います。