平方数でない自然数の数列

質問

自然数の数列
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ,,,
から
平方数の数列
1 4 9 16 ,,,
を取り除くと、
平方数でない自然数の数列
2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 ,,,
が得られますが、その一般項a[n]は、

a[n] = n + [1/2 + √n]

または

a[n] = n + [ √( n + [ √n ] ) ]

と表されるそうなのですが、どうのように求めればよいのでしょうか？

回答No.1

banakona · ベストアンサー

まず後者から。
単純に考えると、自然数の数列　ｂ[ｎ]＝ｎ
に[√ｎ]というゲタを履かせて　　ａ~[ｎ]＝ｎ＋[√ｎ]
とすればよさそうです。ところが、この数列ａ~[ｎ]自体が平方数になってしまうことがあるので、
ａ~[ｎ]をゲタとするものをもう一度はかせて　a[n] = n + [ √( n + [ √n ] ) ]　　・・・★

次に前者
★の外側の[ ]内を　√(n + [√n] )＝√n √( １+ [√n]／ｎ )
と変形。これをテーラー展開すると　√ n √(１+ [√n]／ｎ)＝√ n (１+ [√n]／ｎ／２＋・・・)
　　　　　　　　＝√ n + [ √n ]／√ｎ／２＋・・・)
実際には、これの外側に[ ]が付くので、整数にならない部分は無視してよい。
また、０＜[√n ]／√ｎ≦１であるから[√n ]／√ｎを１に置き換えても、[ ]を付ければ最終値に影響はない。
　∴ａ[n] = n + ［√ n + １／２］

あとは★が平方数にならないことが言えればいいんだけど・・・