【難しい‼数列・・】

質問

第3項が８、第10項が29の等差数列{ａｎ}の初項をａ、公差をｄとする。

(1)ａ、ｄの値を求めよ。

(2)Σ(k=1～ｎ)２＾akをｎの式で表せ。

(3)aｎ≦200であり、aｎ/２が自然数であるaｎの総和Sを求めよ。

(2)からどうしたらよいのでしょうか…

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

とりあえず(1)から。
8=a+2d
29=a+9d
より、d=3,a=2
a[n]=3(n-1)+2=3n-1

(2)
b[k]=2^(3k-1)とおく。
数列{b[k]}は、初項4、公比8の等比数列。
与式は、初項4、公比8の等比数列の第1項~第n項の和を求めることに等しい。
Σ(k=1~n)b[k]
=4・{(8^n)-1}/(8-1)
=(4/7){(8^n)-1}

(3)
3n-1≦200より、n≦67
(3n-1)/2が自然数となるためには、nが奇数であることが必要。
求める和Sは、数列{3n-1}の、第1項、第3項、第5項、...、第65項、第67項の和に等しい。
数列{3n-1}の、第1項、第3項、第5項、...、第65項、第67項からなる数列は、
初項a[1]=2、公差=a[3]-a[1]=6、末項=a[67]=200、項数=34
S=(1/2)・項数・(初項+末項)=(1/2)・34・(2+200)=3434

回答No.7

ferien

ANo.5です。訂正です。

>(3)aｎ≦200であり、aｎ/２が自然数であるaｎの総和Sを求めよ。
ａnの総和Ｓを求めるだから、やっぱり、

＞数列ａnの１，３，…，６７項を書き並べると、
＞２，８，１４，……，２００より、初項２，公差６の等差数列
＞総和Ｓ＝(1/2)×３４×（２＋２００）＝３４３４

でお願いします。済みません。

回答No.6

ferien

ANo.5です。以下のように訂正お願いします。

＞ａn＝３ｎ－１≦２００より、３ｎ≦２０１　よって、n≦６７
不等号の向きが逆でした。

回答No.5

ferien

＞第3項が８、第10項が29の等差数列{ａｎ}の初項をａ、公差をｄとする。

＞(1)ａ、ｄの値を求めよ。
ａn＝ａ＋（ｎ－１）ｄより、
ａ3＝ａ＋２ｄ＝８
ａ10＝ａ＋９ｄ＝２９　連立で解いて、ａ＝２，ｄ＝３

＞(2)Σ(k=1～ｎ)２＾akをｎの式で表せ。
ａk＝２＋（ｋ－１）・３＝３ｋ－１より、
２^ａk＝２^(3k-1)
＝２^(-1)・２^3k
＝２^(-1)・（２^3）^k
＝２^(-1)・８^k
＝２^(-1)・８・８^(k-1)
＝４・８^(k-1)　　だから、初項４，公比８の等比数列
Σ(k=1～ｎ)２＾ak＝４・（８^n－１）／（８－１）
＝(4/7)（８^n－１）

＞(3)aｎ≦200であり、aｎ/２が自然数であるaｎの総和Sを求めよ。
ａn＝３ｎ－１≧２００より、３ｎ≧２０１　よって、n≧６７
ａn／２＝(1/2)（３ｎ－１）より、これが自然数であるためには、
３ｎ－１が偶数であればよく、従ってｎが奇数であれば良い。
だから、１，３，５，……，６７項までの総和を求めれば良い。
項の数字は奇数だから、２ｋ－１＝６７とおくと、項数ｋ＝３４
数列ａn／２の１，３，…，６７項を書き並べると、
１，４，７，……，１００より、初項１，公差３の等差数列
総和Ｓ＝(1/2)×３４×（１＋１００）＝１７１７

になりました。

回答No.4

spring135

（1）an=a+(n-1)d
a+2d=8
a+9d=29

d=3
a=2

an=2+3(n-1)=3n-1

(2)Σ(k=1～ｎ)２＾ak=Σ(k=1～ｎ)２＾(3k-1)=Σ(k=1～ｎ)8＾k/2=8(8^n-1)/(8-1)/2

=4(8^n-1)/7

(3) an=3n-1<=200

n<=67 (1)

　　an/2:自然数　

　　anは偶数、 an=3n-1が偶数のためにはnは奇数,(1)よりn=1,3,...67

　　n=2m-1とおくとm=1,2,3,....34

　　an=a(2m-1)=3(2m-1)-1=6m-4　

S=Σ(m=1～34)(6m-4)=(2+200)×34/2＝3434

回答No.3

asuncion

あれ？
(2)で、2^akと書いてあるのは、数列{a[k]}の一般項（つまり3k-1）の話ではなく
(2^初項)・k、ということなんでしょうか？
私はてっきり、2^(3k-1)のことかと思ってしまいましたが、別の話でしょうか。

補足

数列{ak}の一般項であってます*
ありがとうございます^^*

回答No.1

masssyu

(1)
8=a+2d と 29=a+9d　より

d=3 a=2

(2)
2^a=2^2=4

つまり

Σ(k=1~n)4k　をもとめればいいということになります

Σ(k=1~n)k=n(n+1)/2 なので

答えは

4*n(n+1)/2=2n(n+1)

(3)
2+(n-1)*3≦200 より
n-1≦198/3
n≦66+1=67 となり　第67項までで条件を満たす数の総和を求めることになります。

ここで　an/2 が自然数ということは、同時に an は偶数だということがわかります。

{an}=2 5 8 11 14 17 20 23 ・・・　というように奇数項を足していけば答えになります。

第67項までに奇数項は34回あります。つまり第34項まで

奇数項だけを見ると、初項2　末項=2+66*3=200　だということがわかります。

なので

S=34*(2+200)/2=3434

となります