中学校の問題です

質問

和が２１６で、最大公約数が１８であるような２数Ａ、Ｂの組（Ａ、Ｂ）をすべて書きなさい

どうしてもわかりません。どなたか分かるかた教えてください。
中学１年です。できるだけ簡単に教えていただけたらうれしいです。
お願いします。

回答No.4

wiyocan · ベストアンサー

最大公約数が18だから
Ａ、Ｂは18の倍数であるから（aとbに約数はない）
Ａ＝18×a　 Ｂ＝18×b
とあらわせる。
A＋B＝216より
18×a＋18×b＝216
18（a＋b）＝216
a＋b＝12　　　
上記より、aとbの和が12で約数を持たないようにありえる組み合わせは
(1,11) (3,9) (5,7)
a,bをそれぞれA、Bに当てはめて
18*1＝18　　18*11＝198
18*3＝54　　18*9＝162
18*5＝90　　18*7＝126
よって和が216で、最大公約数が18の２数は
(18,198) (54,162) (90,126)

お礼

aとbに公約数があってはいけないことがようやくわかりました。
それぞれの組み合わせで最大公約数が１にならないといけないのですね。

No３の解答をくださった方もこの場を借りてお礼いたします。

合わせて１２になるパターンはすぐ分かったのですが、そこから「最大公約数が１８という組み合わせ」という部分がどうしたら簡単に導くことができるかがわかりませんでした。
１２パターンの組み合わせで最大公約数が１でないと、最大公約数１８でなくなってしまうのですね。

みなさんありがとうございました。

回答No.5

wiyocan

＃4です。
ミスった（3,9）
には約数があった。
だから（54、164）はなし。

回答No.3

himajin100000

最大公約数が18ということは
AもBも18の倍数でなければなりません。
整数x,yを使って

A = 18 * x
B = 18 * y

と表すことができます。
このとき、
xとyの最大公約数は1である必要があります。・・・★

また、
A + B = 18 * ( x + y ) = 216
といえます。

ここで
x + yを求めると
216 / 18 = 12
であることが解ります

x + yが12となる組み合わせをとりあえず考えましょう
x + y
-------
1 + 11
2 + 10
3 + 9
4 + 8
5 + 7
6 + 6
7 + 5
8 + 4
9 + 3
10+ 2
11+ 1
----
の11通りです。

ですが、★の条件を満たすのは
x + y
-------
1 + 11
5 + 7
7 + 5
11+ 1
の4つだけです。

で、求めるのはxとyの組み合わせじゃなくて
AとBなので
それぞれ代入しましょう。
A B
18*1 ,18*11
18*5 ,18* 7
18*7 ,18* 5
18*11, 18*1

計算して

A B
18 ,198
90 ,126
126 ,90
198, 18

の4通りが答えです。

お礼

回答ありがとうございました。
１１パターンまでは質問する以前にわかったのですが、そこから以下の４パターンにしぼるところがよくわかりません。
もう少し説明していただけませんか。お願いします。
答えは解答がありますので、正解です。
--------------------------------------------------------

xとyの最大公約数は1である必要があります。・・・★
これから
ですが、★の条件を満たすのは
x + y
-------
1 + 11
5 + 7
7 + 5
11+ 1
の4つだけです

回答No.2

koko_u_

最大公約数が 18 だから A = 18k, B = 18m 以下略。

回答No.1

debukuro

18で割れる二つの数のうち足して216になる２数を探せばいいのです。
マサカ答えを教えてくれなんてずるを考えているんじゃないでしょうね。
君はそんな卑怯な人間じゃないよね。

お礼

お返事ありがとうございました。
１８で割れるのはわかりましたが、最大公約数が１８という部分がどうしたら簡単に解けるかという部分がわかりませんでした。
答えはわかっても、数学はいかに簡単に、やりかたを理解することが大切と思っています。
今後もよろしくアドバイスお願いいたします。