良品か不良品かの確率

質問

ご覧頂きまして、ありがとうございます。
勝手ながら、早急にご回答いただきたく存じます。

―問題―――――――――――――――――――――――――
ある工場で作られる製品は、4％の割合で不良品が現れる。
この製品をある装置によって良品か不良品かを検査するとき、
良品か不良品かを誤って判定してしまう確率は5％であるという。
このとき、次の確率を求めよ。

（1）「良品」と判定された製品が、本当に良品である確率
（2）「不良品」と判定された製品が、本当は良品である確率
――――――――――――――――――――――――――――

私は、
（1）：　96/100が良品。このうち、95/100が本当の良品であるので
　　　　 114/125
と最初はしました。しかし、解答は456/457です。
また、
（2）：　4/100が不良品。このうち、5/100が本当は良品であるので
　　　　 1/500
と最初はしました。しかし、解答は24/43です。

私も自分の答えを読み返し、なにかおかしいのはわかります。
でも、なにがどうおかしくて、なにをすれば答えにたどり着くかわかりません。
因みに、『条件つき確率(確率の乗法定理の利用)』と書いていました。
条件つき確率はわかりますし、大体の確率の知識(数Bレベルまで)はあります。
助言でも結構ですので、宜しくお願いいたします。

回答No.1

rtz · ベストアンサー

10000の製品のうち、9600が良、400が不良。
9600の良のうち正しく良なのは9120、誤って不良と出るのは480。
400の不良うち正しく不良なのは380、誤って良と出るのは20。

(1)良と判定されたのは9120＋20＝9140、このうち本当の良は9120。
(2)不良と判定されたのは380＋480＝860、このうち本当の良は480。

お礼

早速のお答えありがとうございます！
具体的な数値を出していただいたため、本当によく理解することができました！
1000の製品と仮定して、rtzさんのやり方にそって解いてみたところ、ちゃんと答えが出ました！
わかり易く、簡潔な解答をありがとうございました！

回答No.2

killer_7

「良品である」という事象をA,
「良品と判定される」という事象をBとすると，題意の確率は
(1) Pr(A|B)　（良品と判定された，という条件のもとで，良品である確率）
(2) Pr(A|notB)　（良品と判定されなかった，という条件のもとで，良品である確率）
であるということは分かりますか？（Pr(X)は事象Xがおきる確率，notXはXでないという事象）
nachi_naさんは，Pr(A|B)を求められているところでPr(A)*Pr(B)を出してしまったりしています．

さて，問題文から，良品である確率は，
Pr(A) = 96/100
であり，良品と判定される確率は
Pr(B)
= （良品であり，良品と判定される確率） + （良品でないが，良品と判定される確率）
= Pr(A ∩ B) + Pr(notA ∩ B)
= Pr(A) * 0.95 + Pr(notA) * 0.05
= 96/100 * 19/20 + 4/100 * 1/20
となります．あとは条件付確率の定義
Pr(X|Y) = Pr(X∩Y)/Pr(Y)
どおりに計算します．

(1)
Pr(A|B)
= Pr(A∩B)/Pr(B)
= (96/100 * 19/20)/(96/100 * 19/20 + 4/100 * 1/20)

(2)
Pr(A|notB)
= Pr(A ∩ notB)/Pr(notB)
= (96/100 * 1/20)/(1-(96/100 * 19/20 + 4/100 * 1/20))

となります．ただし(2)で，Pr(A ∩ notB)，つまり良品であり，かつ不良品と判定される確率は
96/100 * 1/20
であることを使いました．
これは解答と一致するでしょう．

お礼

♯1の方の具体的な解答方法をみてからkiller_7さんの解答を
読ませていただいたので、より理解が深まりました！
killer_7さんの解答、わかり易く、わからなかった私が言うのは何ですが、
完璧ですね！
タイミングも♯1の方の後、というのが、私にはありがたかったです！
本当に長文、大変でしたでしょうに、ありがとうございました！
よくわかりました！

――――――――――――――――――――
以下、
こちらの記事に書き込もうとして下さって、途中で締切になってしまった方、
もしいらっしゃったら、本当にごめんなさい！
確率という難しい証明なので難しい記号等を多用されて、
大変なご苦労をさせてしまったことを深くお詫びいたします。
申し訳ありませんでした！
ありがとうございました！！！