Oを含む開区間Iで定義された微分可能な関数f(x)が以下を満たしている

質問

Oを含む開区間Iで定義された微分可能な関数f(x)が以下を満たしているとする。

(i) x,y,x＋yがIの要素であるとき、(1-f(x)f(y))f(x＋y)=f(x)＋f(y)

(ii) f'(0)=1
このときf(x)を求めなさい。また最大区間Iを定めよ
(解)
f(x)f(y)≠1として　(i)からf(x＋y)=(f(x)＋f(y))/(1-f(x)f(y))より
f(x)=tanαx　が解だというのが分かる。但しαは実定数。このときf'(x)=α/(cosαx)^2で
(ii)より α=1 つまりf(x)=tanxとなる。
ここで(i)(ii)を満たすようなf(x)は一意的にf(x)=tanxで定まっていることを示す。
そのためにf(x)=k(x)tanxとおく。
(i)に代入して整理すると　
tanx(k(x＋y)-k(x))＋tany(k(x＋y)-k(y))＋tany(tanx)^2k(x)(1-k(x＋y)k(y))
＋tanx(tany)^2k(y)(1-k(x)k(x＋y))＝0

{tanxの係数：k(x＋y)-k(x) tanyの係数：k(x＋y)-k(y)
tany(tanx)^2の係数：k(x)(1-k(x＋y)k(y))
tanx(tany)^2の係数：k(y)(1-k(x)k(x＋y)) }
ここでx,yはI上任意の実数なのでtanx、tany、tany(tanx)^2、tanx(tany)^2は全て一次独立である。　よって各係数が0となるk(x)を考えればよい。
tanxの係数とtanyの係数からk(x)=k(y) さらに
tany(tanx)^2の係数により、k(x)(1-(k(x))^2)=0
これを解くとk(x)の求める値は定数関数0,1,-1のいずれかにしかならない。
k(x)=0のとき　f(x)=0でf'(x)=0 (ii)に適さない
k(x)=-1のとき　f(x)=-tanxで　f'(x)=-1 これも(ii)に適さない
k(x)=1のとき　f(x)=tanxでこれは(i)(ii)を満たす解である。
したがって一意的にf(x)=tanxに定まっていることが示せた。
また最大区間Iは(-π/2,π/2)である。
数学検定1級の過去問です。模範解答はない。今度数学検定1級を受けるので
この問題で今のように書くとどれくらいの評価が得られるかお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞f(x)f(y)≠1として　(i)からf(x＋y)=(f(x)＋f(y))/(1-f(x)f(y))よりf(x)=tanαx　が解だというのが分かる。但しαは実定数。
＞このときf'(x)=α/(cosαx)^2で(ii)より α=1 つまりf(x)=tanxとなる。
＞ここで(i)(ii)を満たすようなf(x)は一意的にf(x)=tanxで定まっていることを示す。
＞そのためにf(x)=k(x)tanxとおく。

　確かに条件(i)を満たす1つの解が　f(x)=tan(αx) だということは分かりますが、ここからα=1として条件(i)を満たすような関数f(x)をk(x)tan(x)に一般化できるというのは無理があると思います。自明ですか？
　この点についてどの程度の評価がもらえるのかと考えると　かなり厳しいと思います。

　ちなみに　f(x)=tan(x) を示すにはつぎのようにしてはいかがでしょうか。

(A)　まず　f(0) を求めます。
　　開区間IはOを含みますので、x=y=0 としても条件(i)は成立しますので、条件(i)は次のようになります。
　　　{1-{f(0)^2}f(0)=2f(0)　⇔ f(0){f(0)^2+1}=0
　　従って、f(x)が実数関数であれば次のことが言えます。
　　　∴　f(0)=0　　　・・・・・・・(1)

(B)　次に　f(x)についての微分方程式を得ます。
　　条件(i)の両辺をyで微分すると次のようになります。
　　　-f(x)f'(y)f(x+y)+{1-f(x)f(y)}f'(x+y)=f'(y)
　　y=0　のときこの方程式は次のようになります。
　　　-f(x)^2 f'(0)+f'(x)=f'(0)　　　（∵　式(1) ）
　　　f'(x)=1+f(x)^2　　　　　　　　　（∵　条件(ii)　）

(C)　(B)で得た微分方程式を解きます。
　　ξ=f(x) とおくと　(B)で得た微分方程式は　変数分離法により　つぎのように解けます。
　　　dξ/dx=1+ξ^2
　　　dξ/(1+ξ^2)=dx
　　∴∫dξ/(1+ξ^2)=∫dx
　　ここで ξ=tanθ と置きます（単なる置換積分です。天下り式ではありません。）と　dξ=dθ/(cosθ)^2 ですので　次のようになります。
　　　∫dθ=∫x
　　∴θ=x+C　　（C:積分定数）
　　変数をf(x)=ξに戻して
　　　f(x)=ξ=tanθ=tan(x+C)
　　ここで　式(1)より　f(0)=tanC　なので　C=nπ（n:整数）　となりますので、
　　　f(x)=tan(x+nπ)=tan(x)

(D)　最大区間Iを求めます。
　　　f(x)=tan(x)　の定義域は　( (2n-1)π/2, (2n+1)π/2 )　です。
　　　このうち　O　を含む開区間は　(-π/2, π/2)　です。
　　　従って、区間Iは(-π/2, π/2)のとき最大になりますので、求める最大区間Iは (-π/2, π/2) となります。

お礼

もう一度じっくり自分で考えてみます。ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

>この問題で今のように書くとどれくらいの評価が得られるかお願いします。

同様の有名問題に
全実数x,yで定義された全実数で微分可能な関数f(x)が
f(x+y)=f(x)f(y)を満たし
x=0で微分可能で
f'(0)=1
を満たす．このときfを求めよ．
なんてのがあります（たぶん，微分可能性はx=0でだけでいいはずだけど）．
明らかに答えはf(x)=e^{x}ですが，
質問のような解ではほとんど点が貰えません．

これで質問の答えになっているかと．

お礼

分かりました。もう一度じっくり自分で考えてやりなおしてみます。