関数f(x)=x^4-4x^3+4x^2について

質問

この関数のグラフが描けなくて困っています。
途中までは↓のように解きました。

f(x)=x^2(x-2)^2より、
f(x)は、x=0,2において、x軸と交わる。

n→∞のとき、f(x)→∞
n→-∞のとき、f(x)→∞

2回微分して、
df(x)/dx=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)
d^2f(x)/dx^2=12x^2-24x+8=4(x-1-√3/3)(x-1+√3/3)

よって増減表は、
x | 0 (1-√3/3) 1 (1+√3/3) 2
d |-0+ + +0- - -0+
d^2|+++ 0 --- 0 +++
f |

で、fなのですが、最初上に凸に減少して、次下に凸に増加しませんか？
グラフはどう描けばよいのでしょう？ポキッと折ればよいのでしょうか。
あとD=0,D^2=+or-の時は、どう考えるのですか？

…それとも、全体的におかしいのでしょうか。

回答No.4

med4brain · ベストアンサー

ご質問に書かれてる増減表からは、メジャーな４次関数のグラフが書けますよ。
増減表自体もあってるみたいですし。
グラフの形状でミスをされてるような感じなので、一応書いておきますと、

(1)一回微分が－、二回微分が－のとき　⇒　急速に減少する　＝　上に凸

(2)一回微分が－、二回微分が＋のとき　⇒　緩やかに減少する　＝　下に凸

(3)一回微分が＋、二回微分が－のとき　⇒　緩やかに増加する　＝　上に凸

(4)一回微分が＋、二回微分が＋のとき　⇒　急速に増加する　＝　下に凸

となります。(1)と(4)だけ覚えておいていただいても、よろしいかと思われます。
二回微分の符号が違うだけですので。

ご質問の増減表では、最初、x＜0で一回微分が－、二回微分が＋ということはグラフの形状ではだんだん緩やかに減少していっているということを表します。
(2)より下に凸です。
次に0＜x＜(1-√3/3)で、一回微分が＋、二回微分も＋になってますからグラフの形状でいうと急速に増加していっていることを表しています。
(4)より下に凸です。

ですから、x＜(1-√3/3)では下に凸です。

同様に(1-√3/3)＜x＜1では一回微分＋、二回微分－よりグラフの形状は緩やかに増加してます((3)より上に凸)し、
1＜x＜(1+√3/3)では一回微分も二回微分も－でグラフは急速に減少してます((1)より上に凸)。

よって(1-√3/3)＜x＜(1+√3/3)では上に凸です。

(1+√3/3)＜x＜2では一回微分－、二回微分＋でグラフは緩やかに減少してます((2)より下に凸)し、
x＞2では一回微分も二回微分も＋ですのでグラフは急速に増加してます((4)より下に凸)。

よって(1+√3/3)＜x＜2では下に凸となります。

ですので、ご質問の式からは下に凸→上に凸→下に凸となって、xの４乗の項が＋の時の、メジャーなグラフができますよ。

お礼

みなさんご回答ありがとうございました。
みなさんのご意見を参考に、これからがんばろうと思います。本当にどうもありがとうございましたm(__)m

回答No.3

ysk888

グラフは２の方のおっしゃるとおりですね。

ちょっと違う解釈の説明をします。
f(x)=x^2(x-2)^2={x(x-2)}^2
ですから、x=0とx=2を通る２次関数を2乗すればよいです。f'(x)=0になるのは、この２点と、x=１です。x=1は、x(x-2)の微分がゼロになる所（実は、0と2の平均値）だからです。
（x=1を軸とした、左右対称のグラフになります。）

もう少し詳しく書くと
f'(x)=2(x-2+x){x(x-2)}=4(x-1)x(x-2)
最初の２は、２乗部分から、
(x-2+x)はx(x-2)の微分から来ます。

もちろん、グラフはポキッと折ったりしないで下さい。
微分可能な関数なんだから、絶対に！
折った所は普通の意味では微分不可能です。
ポキッと折るのは、絶対値|x(x-2)|の場合です。

回答No.2

mirage70

何故２回微分をするのですか?
増減をみるには、微分は１回でよいのではないですか?
df(x)/dx=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)より、極値は
x=0,x=1,x=2となるのではないですか?
x<0のときdf(x)/dx<0　減少
x=0のときdf(x)/dx=0　極値
0<x<1のときdf(x)/dx>0　増加
x=1のときdf(x)/dx=0　　極値
1<x<2のときdf(x)/dx<0　減少
x=2のときdf(x)/dx=0　極値
x>2のときdf(x)/dx>0　増加　となります。
４次方程式で、x^4の係数が正ならば、グラフはWの形をしており、直線の交点のところを丸めた形にすればほぼ描くことができます。

補足

みなさんご回答ありがとうございます。
2回微分をするワケですが、そこをいつも迷います。1回微分でいいのかな？と思っても、解答を見ると2回微分してある事があります。よく分かりません。
2回微分をする時って、どんな時なのですか？
一応、変曲点を知りたい時に2回微分すると聞いたことがありますが、変曲点を知りたい時とは、どんな時ですか？

回答No.1

yumisamisiidesu

>ポキッと折ればよいのでしょうか。
もともと(数学が達者な人でも)正確なグラフなんて書けるわけありませんが
グラフを書くことはその関数についてどれだけ理解しているかが問われます．
一階微分可能な関数のグラフをポキっと折って書いてしまったら明らかによくて減点か普通はペケの対象になります

大体微分を利用して関数のグラフを書く問題では
以下のようなことを理解して、それを書いたグラフに反映されてれば点数がもらえると思います
(1) 定義域、値域の範囲が分る
(2) 増加域、極大点、減少域、極小点
　　変曲点、max,min
(3) 不連続点、(連続で)微分不可能な点(* 尖がらすところ)
(4) 漸近線の有無