複数あります。

質問

(1)a≦ｂ≦ｃ、ｘ≦ｙ≦ｚ　のとき、
　（a+b+c）(x+y+z)+ax+by+cz=(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(c+a)(z+x)
　2(ax+by)≧(a+b)(x+y)
　の二つの式が証明されています。

　3(ax+by+cz)≧(a+b+c)(x+y+z) を証明せよ。

(2)(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2 が証明されています。

　x^2+y^2=4　のとき,5x+2y の最大値を求めよ。

どなたか回答お願いします。

回答No.5

mister_moonlight · ベストアンサー

別解の別解。。。。。。ｗ

2(ax+by)≧(a+b)(x+y)から、2(cz+by)≧(c+b)(z+y)、と、2(ax+cz)≧(a＋c)(x+z)、も成立する。
3辺を足すと、4(ax+by+cz)≧(ax+by+cz)＋b(x+y+z))＋c(x+y+z))＋a(x+y+z)。
従って、3(ax+by+cz)≧(a+b+c)(x+y+z) 。

ついでに、(2)の不等式は、シュワルツの不等式という。
文字が６つの場合でも成立する。
つまり、(a^2+b^2＋c＾2)(x^2+y^2＋z＾2)≧(ax+by＋cz)^2 が　成立する。

お礼

ありがとうございました。

すみませんが、
等号成立はどのようにもとめられますか？
おねがいします。

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミス。。。。ｗ

(誤)　(ax-bx)＋(ax-cx)＋(by-ay)＋(by-cy)＋(cz-az)＋(cz-bz)＝(y-x)*(b-a)＋(z-x)*(c-a)＋(z-x)*(c-a)≧0.

(正)　(ax-bx)＋(ax-cx)＋(by-ay)＋(by-cy)＋(cz-az)＋(cz-bz)＝(y-x)*(b-a)＋(z-x)*(c-a)＋(z-y)*(c-b)≧0.

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

どうせ(2)の別解を示すなら、(1)の別解も示そうよ。。。。。ｗ

(1)の不等式は、チェビシェフの不等式といい、比較的知られた不等式だよ。

左辺-右辺＝2ax＋2by＋2cz－ax-bx-cx-ay-by-cy-az-bz－cz＝(ax-bx)＋(ax-cx)＋(by-ay)＋(by-cy)＋(cz-az)＋(cz-bz)＝(y-x)*(b-a)＋(z-x)*(c-a)＋(z-x)*(c-a)≧0.
等号の成立は？

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

gohtraw

（２）の別解です。
　ｘ＾２＋ｙ＾２＝４ということは、（ｘ、ｙ）は原点を中心とする半径２の円周上にあるということです。５ｘ＋２ｙ＝ｋとおくと、これは直線の式です。つまりｋの最大値を求めるということは、５ｘ＋２ｙ＝ｋという直線が上記の円に接するときのｙ切片の最大値を求めるのと同じことです。
　（ｘ、ｙ）は上記の円周上にある点で、この点で円に接する直線と原点との距離は円の半径に等しいので点と直線の距離の公式より
｜５＊０＋２＊０＋ｋ｜／√（５＾２＋２＾２）＝２
｜ｋ｜＝２√２９
よってｋの最大値は２√２９

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

(1)
　a<=b、ｘ＜－ｙのとき2(ax+by)≧(a+b)(x+y)　なので同様に
　b<=c、y<=zのとき２（by+cz)>=（b+c)(y+z)
　a<=c、x<=zのとき２（ax+cz)>=（a+c)（x+z)
です。したがって、
（a+b+c）(x+y+z)=(a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(c+a)(z+x))-ax-by-cz
<=2(ax+by)+2(by+cz)+2(ax+cz)-ax-by-cz
=3ax+3by+3cz

（２）(a^2+b^2)(x^2+y^2)≧(ax+by)^2　においてａ＝５，ｂ＝２とおくと
（５ｘ＋２ｙ）＾２＜＝（５＾２＋２＾２）（ｘ＾２＋ｙ＾２）
　　　　　　　　　　＝２９＊４
よって５ｘ＋２ｙの最大値は２√２９

お礼

ありがとうございました。