和の等しい３数の積の最大値

質問

a+b＝６のとき、abが最大になるのはa=b=3だと思います。
a+b+c=９のとき、abcが最大になるのはa=b=c=3だと思います。
すべての場合でやってみれば分かるのですが、
証明はできるのでしょうか。
できるならばどのようにしたら良いのでしょうか。
よろしくお教えください。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

自然数（１からの整数）でいいですよね？

まず、ａｂについて。

ａ＝３＋ｘ
ｂ＝３－ｘ
（ただし、０≦ｘ≦３）
と表すことが出来る。

ａｂ＝（３＋ｘ）（３－ｘ）＝９－ｘ^2
これが最大になるには、ｘ^2＝０、すなわち、ｘ＝０　であればよい。
よって、ａ＝ｂ＝３　のとき最大。

次に、ａｂｃについて。

ａ＝３＋ｘ、
ｂ＝３＋ｙ、
ｃ＝３－ｘ－ｙ
（ただし、ｘ＋ｙ≦３）

と表すことが出来る。

ａｂｃ＝（３＋ｘ）（３＋ｙ）（３－ｘ－ｙ）　＝ｆ（ｘ、ｙ）

ａｂｃが極値をとるとき、微分（偏微分）がゼロ。
∂ｆ／∂ｘ　＝　（３＋ｙ）・｛１・（３－ｘ－ｙ）－１・（３＋ｘ）｝
　＝　（３＋ｙ）（－２ｘ－ｙ）　＝　０
よって
ｙ＝－３　または　ｙ＝－２ｘ
しかし、ｙ＝－３ではｂ＝０になってしまうので、
ｙ＝－２ｘ　・・・（ア）

同様に、

∂ｆ／∂ｙ　＝　（３＋ｘ）・｛１・（３－ｘ－ｙ）－１・（３＋ｙ）｝
　＝　（３＋ｘ）（－ｘ－２ｙ）　＝　０
ｙって
ｘ＝－３　または　ｙ＝－ｘ／２
しかし、ｘ＝－３ではａ＝０になってしまうので、
ｙ＝－ｘ／２　・・・（イ）

（ア）かつ（イ）が答えなので、
ｘ＝ｙ＝０

よって、
ａ＝３＋０＝３
ｂ＝３＋０＝３
ｃ＝３－０－０＝３

ただし、極値とは言っても、極大値か極小値かが分からないので、検証。
極大値を取るときは、ｘ＝ｙ＝０のポイントにおいて
∂^2ｆ／∂ｘ^2　＜　０
∂^2ｆ／∂ｙ^2　＜　０
（つまり、上に凸）
でなければならない。

∂^2ｆ／∂ｘ^2　＝　（３＋ｙ）・（－２）
ｘ＝ｙ＝０のとき、（３＋０）・（－２）＜０

∂^2ｆ／∂ｙ^2　＝　（３＋ｘ）・（－２）
ｘ＝ｙ＝０のとき、（３＋０）・（－２）＜０

合格。

（終わり）

お礼

abについては、ほんとに納得です。
すっきりしました。
下はまだ合格できません。
他を勉強してから考えます。
ありがとうございます。ますます数学がおもしろいです。

回答No.4

sanori

＃２で回答した者です。

うっかり書き忘れましたが、
もしも求まったｘやｙが自然数でない場合、
ｘをはさむ２つの自然数、ｙをはさむ２つの自然数
（たとえば、ｘ＝１．５であれば、１と２）
のうち、ａｂやａｂｃが、より大きくなるほうを選ぶことになります。

回答No.3

kabaokaba

すべてが正の数であるならば
相加平均と相乗平均の関係ですぐ出ます．
すべての数が等しいときに積は最大です．

どれか一つでも正ではないものが存在した場合は
考える必要があります．

定式化すると

g(a1,a2,...,an)=a1+a2+・・・+an-A
f(a1,a2,...,an)=a1a2・・・an
とおく．
このとき，g=0 の条件のもとで f の最大値を求めよ

となるわけで，
これはラグランジュの未定乗数法で解けると思います

お礼

こういうことも一般化できるところにおもしろさを感じます。
でも、後半の理解はまるでできません。
これからがんばります。ありがとうございました。

回答No.1

mmk2000

a+b=6よりb=6-a
ab=a(6-a)=-a^2+6a
これはaの上に凸の二次関数だから最大がでます。

a+b+c=9
a+b-3=Aとおくと
A+c=6
A=c=3の時最大
a+b-3=3
a+b=6
a=b=3の時に最大になります。

細かい部分は付け加えながら証明してみてください。

お礼

うえの３行は理解できました。なるほどという思いです。
下はもう少し考えてみます。
ありがとうございます。