1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積分の計算のしかたを教えてください。

質問

∫1/ a + bcosx dx (a,b>0)の 不定積分の計算のしかたを教えてください。t = tan θ/2 とおいて計算をしました。
a = b のときは簡単に求められたのですが a>b , a<b のときはわかりませんでした。
よろしければ教えてください。
詳しく解説をしてもらえるとうれしいです。

回答No.3

info22

#1です。
もう理解できましたか？
A#1で書きました結果の式またはその変形式まで到達しましたか？

少し助け舟を示して起きましょう。
混乱しないように#2さんのA#2の解法からあまり外れないようにして回答をお書きしましょう。最終結果は少し変形すればA#1の結果の式と同じ式になります。

t=tan(x/2)とおく。
t^2=tan^2(x/2)={1-cos(x)}/{1+cos(x)} …(1)
{1+cos(x)}t^2=1-cos(x)
(1+t^2)cos(x)=1-t^2
cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) …(2)
sin^2(x)=1-cos^2(x)=4t^2/(1+t^2)^2
0<x<πでt=tan(x/2)>0,sin(x)>0ゆえ
sin(x)=2t/(1+t^2) …(3)
両辺を微分
cos(x)dx/dt=2/(1+t^2) -4t^2t/(1+t^2)^2=2(1-t^2)/(1+t^2)^2
dx=2dt/(1+t^2) …(4)←A#2の式の分母の２乗はミスですね。

I=∫dx/{ a + b*cos(x)}
=∫2dt/[(1+t^2){a+b (1-t^2)/(1+t^2)}]
=∫2dt/{(1+t^2)a+b (1-t^2)}
=∫2dt/{(a+b)+(a-b)t^2}
(ここまではA#2と同じです。)
■a>b>0の場合
I={2/(a-b)}∫dt/{t^2 +(a+b)/(a-b)}
t=k*tan(u), k=√{(a+b)/(a-b)}(>0)とおく。
dt=kdu/cos^2(u)=k{1+tan^2(u)}du
I={2/(a-b)k^2}∫kdu
=2u/√(a^2-b^2)
={2/√(a^2-b^2)}arctan(t/k)
={2/√(a^2-b^2)}arctan[{√(a-b)/(a+b)}tan(x/2)]

■b>a>0の場合
I={2/(a-b)}∫dt/{t^2 -(a+b)/(b-a)}
h=√{(a+b)/(b-a)}(>0)とおく。
I={2/(a-b)}∫dt/(t^2 -h^2)
I={2/(a-b)}(1/2h)∫dt{1/(t-h) -1/(t+h)}
=-{1/√(b^2-a^2)}log{(t-h)/(t+h)}
=-{1/√(b^2-a^2)}log[{tan(x/2)√(b-a)-√(a+b)}/{tan(x/2)√(b-a)+√(a+b)}]
=-{1/√(b^2-a^2)}log[{(b-a)tan(x/2)-√(b^2+a^2)}/{(b-a)tan(x/2)+√(b^2+a^2)}]

以上です。A#1の式と同じですが式の整理の仕方で見かけは違って見えますが同じ式に整理できます。

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
なんとか理解できたと思います。
a<bのときはやっぱり難しいですね。

ありがとうございました。

回答No.2

inara

途中までやります。
微積分のテキストにたいて出ているはずですが、sin, cosを含む関数の積分は t = tan(x/2) と置換します。

（１）　sin(x), cos(x) を t で表す
t = tan(x/2) から
　　　t^2 = tan^2(x/2) = sin^2(x/2)/cos^2(x/2) = sin^2(x/2)/{ 1 - sin^2(x/2) } --- (1)
となりますから、半角の公式 [1]
　　　sin^2(x/2) = { 1 - cos(x) }/2
より、式 (1) は
　　　t^2 = { 1 - cos(x) }/{ 1 + cos(x) }
　　　→ cos(x) = ( 1- t^2 )/( 1 + t^2 ) --- (2)
一方、
　　　sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = ( 2*t )^2/( 1 + t^2 )^2
ですが、 t = tan(x/2) なので x>0 のとき t>0 ということに注意すれば
　　　sin(x) = 2*t/( 1 + t^2 ) --- (3)

（２）　dx を t で表す
式 (3) の両辺を t で微分すれば、商の微分法 [2] から
　　　cos(x) dx/dt = { 2*( 1 + t^2 ) - 2*t*2*t }/( 1 + t^2 )^2 = 2*( 1 - t^2 )/( 1 + t^2 )^2
　　　→ dx/dt = 2*( 1 - t^2 )/{ ( 1 + t^2 )^2*cos(x) } = 2/( 1 + t^2 )^2
　　　→ dx = 2*dt/( 1 + t^2 )^2 --- (4)

（３）　置換積分
(2), (3), (4) より
　　　I = ∫dx/{ a + b*cos(x) }
　　　　= ∫2*dt/( 1 + t^2 )^2/{ a + b*( 1- t^2 )/( 1 + t^2 ) }
　　　　= ∫2*dt/{ a*( 1 + t^2 )^2 + b* ( 1- t^2 ) }
　　　　= ∫2*dｔ/{ ( a - b )*t^2 + a + b }

（４）　場合分け
　　・a = b　の場合
　　　　　 省略

　　・a > b の場合
　　　　　a>0, b>0 なので ( a + b ) > 0 かつ ( a - b ) > 0 となることに注意する。
　　　　　 t = tan(θ)*√{ ( a + b )/( a - b ) } とおく 　（√の中は正）

　　・a < b の場合
　　　　　a>0, b>0 なので ( a + b ) > 0 かつ( a - b ) < 0 となることに注意する
　　　　　　　1/{ ( a - b )*t^2 + a + b }
　　　　　　= 1/( a - b )/{ t^2 + ( a + b )/( a - b ) }
　　　　　　= 1/ ( b - a )/{ ( a + b )/( b - a ) - t^2 }
　　　　　これを A*{ 1/( B - t ) + 1/( C + t ) } の形に変形する。
B = C = √{ ( a + b )/( b - a ) } として、 A を求めるだけの話です。

[1]　半角の公式の導出
和の公式 cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) でa = b = x とおくと
cos(2*x) = cos^2(x) - sin^2(x)
　　　　　　= cos^2(x) - { 1 - cos^2(x) } = 2*cos^2(x) - 1 --- (a)
　　　　　　= 1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2*sin^2(x) --- (b)
x = X/2 とおくと
式(a)　　cos(X) = 2*cos^2(X/2) - 1　→ cos^2(X/2) = { 1 + cos(X) }/2
式(b)　　cos(X) = 1 - 2*sin^2(X/2) 　→ sin^2(X/2) = { 1 - cos(X) }/2

[2]　商の微分法
y = f(x)/g(x) のとき、y' =( f'*g - f*g' }/g^2

お礼

お忙しい中、詳しい解説ありがとうございました。
これから、頑張って理解しようと思います。

回答No.1

info22

文字のままでは計算は簡単ではありませんね。
a=bの場合なら積分の外に括り出せてa=bは積分と無関係になります。
aとbは等しくない場合のa,bの正負の組み合わせが4通り、それにa,b間の大小関係があって場合分けがさらに増えます。それを回答者に丸投げするのは酷です。
ですから、全部解答する方は居ないでしょう。質問するならa,bに具体的な値を入れた場合の積分に限定するか、a,bの場合分け条件を整理して、その場合分けの1つだけを質問するか、する方が質問の仕方としてはよいかと思います。

結果としては
(b^2)-(a^2)の正負ゼロで　場合分すればよいことが分かると思います。

数学ソフトを使って得た結果だけを示せば
|b|>|a|の場合
-log((((2*b-2*a)*sin(x))/(cos(x)+1)-2*sqrt(b^2-a^2))/(((2*b-2*a)*sin(x))/(cos(x)+1)+2*sqrt(b^2-a^2)))/sqrt(b^2-a^2)
|b|<|a|の場合
-(2*atan(((2*b-2*a)*sin(x))/(2*sqrt(a^2-b^2)*(cos(x)+1))))/sqrt(a^2-b^2)
となります。

自分で解答を作り、その計算の大変さを知れば、一般の変数a,bを使った積分を丸投げされないと思います。
最終解答を見ればどんな置換が計算途中で行えばよいか見えてくるはずです。まずご自分でa,bに条件（例えばa>b>0など）をつけて積分して見てください。

お礼

ありがとうございます。
info22さんの回答を参考に理解できるように頑張ります。