振動

質問

どうしても解き方がわからないのでどなたか教えていただけませんでしょうか。≪固定振動数ω。の振動系に、t＜0でF=0 0<t<T＝2π/ωでF=F。＝sinωｔ、T<tでF=0のような強制力を作用させたときの振動を求めよ。ただしt→-∞でx=ｘ微分=0≫なのですが、強制力を作用させたときの振動とゆうのがまったくわかりません。どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

質点の質量をｍとし、(抵抗力を含めて)Ｆ以外に力が加わらないとすると、運動方程式は、
　　m(d^2 x/dt^2)＝-kx+F　　（ｋ：比例定数)
となりますので、微分方程式は、ω0＝√(k/m) となることに注意すると、次のようになります。
　　(d^2 x/dt^2)＋ω0^2・x＝F/m　　　　・・・・・（Ａ）

（１）　t＜０では、Ｆ＝０なので、単なる単振動ですから、
　　ｘ＝Acos(ω0t)+Bsin(ω0t)　　　　・・・・・（Ｂ）
ですが、「t→-∞でx=ｘ微分=0」ですから、Ａ＝Ｂ＝０でなければならず、
　　ｘ(t)＝０　（ｔ＜０）　　　　・・・・・（Ｃ）
　　（⇒x(0)=0, dx(0)/dt=0　）
となります。

（２）　０＜ｔ＜2π/ω　では、強制力が働きますので、Ｆ＝０のときの一般解（式(A)）に特解を加えてものが、ここでの一般解になります。
　そこで、特解を Csin(ωt-δ) とおいて、式（A)の微分方程式に入れると、
　　C＝(F0/m)・1/(ω0^2-ω^2)、δ＝０
のとき式(A)を満たすことが分かりますので、ここでの一般解は、次のようになります。
　　ｘ(t)＝Acos(ω0t)＋Bsin(ω0t)＋(F0/m)・1/(ω0^2-ω^2)sin(ωt)
　これにt<0のときの考察から得られた初期条件x(0)=0, dx(0)/dt=0から、ＡとＢの条件が求まり、ｘは次にようになることが分かります。
　　ｘ(t)＝(F0/m)/(ω0^2-ω2)・{sin(ωt)-(ω/ω0)sin(ω0t)}　（０＜ｔ＜2π/ω）　　　　・・・・・（Ｄ）
　　dx/dt＝(F0/m)ω/(ω0^2-ω2)・{cos(ωt)-cos(ω0t)}　（０＜ｔ＜2π/ω）　　　　・・・・・（Ｅ）

　ここで、t＞Ｔの振動を求めるためにt=Ｔでの、xとdx/dt　を求めておきます。
　　x(T)＝－(F0/m)/(ω0^2-ω2)・(ω/ω0)sin(2πω0/ω)
　　dx(T)/dt＝(F0/m)ω/(ω0^2-ω2)・{1-cos(2πω0/ω)}

（３）　Ｔ＜ｔのとき、強制力Ｆがなくなりますので、ここでは、式（Ｂ）のような単振動を行います。
　そこで、(２)の最後に求めた初期条件 x(T)とdx(T)/dt でＡとＢを確定すれば、次のように、ここでの単振動が求められます。

　　x(t)＝(F/m)/(ω0^2-ω^2)【 { (1-ω/ω0)cos(2πω0/ω)-1 }sin(2πω0/ω)cos(ω0t) + [ -(ω/ω0){sin(2πω0/ω)}^2 +{1-cos(2πω0/ω)}cos(2πω0/ω) ]sin(ω0t) 】　　（Ｔ＜ｔのとき）

　なお、ここまで複雑な式ですと、一応見直しはしていますが、打ち間違いや計算間違いをしているかもしれませんので、是非検算して確認してください。

補足

本当に詳しく書いていただきありがとうございます。助かりました。

回答No.1

foobar

（固定振動数ではなくて固有振動数のような気もしますが）
振動する系は二階の微分方程式
ax''+bx'+c=u(t)
で表現できます。この外力u(t)が0の場合が自由振動、周期的なu(t)を加えた場合が、強制振動(でいいのかな）かと。
問題としては、
・問題で提示されている系になるようにa,b,cを決める
・問題で示されたようなu(t)を与えたときのxを解く
ということになるかと思います。

お礼

ありがとうございます。参考にさしていただきがんばってみます。