代数の証明です。

質問

m,nを正整数としたときに、

mZ+nZ=lZ(lはm,nの最小公倍数)という命題なんですが、
どうやって示してあげればいいんですか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

Ｚとは何でしょう。
　添え字でなければ、与えられた式は、m+n=l になってしまいますよね。
　それに、m=2, n=3　⇒l=6 の場合、成り立ちませんよね。

補足

すみません。
Ｚは集合で整数のことです。

回答No.4

noname#101087

かんじんのところがミス、訂正します。

だとすると、上式の + が集合積(共通集合)ならば等号 = が「成立」。
左辺の任意の要素は右辺に属し、逆に左辺の要素は右辺に属することを示せばよいのでしょう。

回答No.3

noname#101087

>mZ+nZ=lZ(lはm,nの最小公倍数)という命題

>Ｚは集合で整数のことです。

だとすると、上式の + が集合積(共通集合)ならば等号 = が不成。
左辺の任意の要素は右辺に属し、逆に左辺の要素は右辺に属することを示せばよいのでしょう。

補足

すいません、最小公倍数というのが
間違っていました。

回答No.2

zk43

lは最小公倍数ではなく、最大公約数である。
mZ+nZに含まれる最小の自然数をaとする。
mZ+nZの任意の数bをaで割った商をq、余りをrとすると、
b=aq+r、0≦r＜a
r=b-aqであるが、mZ+nZに含まれる数は、何倍かしたり、足し引きして
も、やはりmZ+nZに含まれるので、rもmZ+nZに含まれる。
0≦r＜aで、aがmZ+nZに含まれる最小の自然数としたので、r=0
よって、b=aq
すなわち、mZ+nZに含まれる数はaの倍数である。
逆にaの倍数はmZ+nZに含まれる。
したがって、mZ+nZはaの倍数全体の集合となる。

aはmZ+nZに含まれるので、
a=mx+nyと書ける。
lは右辺を割り切るので、左辺のaも割り切る。
また、m,nもmZ+nZに含まれるので、m,nはaの倍数、すなわち、aはm,n
の公約数となり、aはm,nの最大公約数であるlの約数となる。
つまり、aはlを割り切る。
よって、aとlは互いを割り切るので、a=lとなる。
以上から、mZ+nZはlの倍数全体の集合、すなわち、lZとなる。

お礼

間違えていました。
おっしゃるとおりで【最小公倍数】→【最大公倍数】
でした。間違って投稿しながら証明を解いていただいて
ありがとうございます。
もし、よかったら似たような証明でもう1問わかんないものが
あるんですけれど、解いてもらえませんか？