期待値

質問

１個サイコロを投げて出た目の数をkとし
α=【(1/2)＋(√3/2)i】＾kとする。複素数平面上に点Ａ(1)と点B(α)をとるとき、2点A,B間の距離の期待値は？
ただしiは虚数単位とする。

α=【(1/2)＋(√3/2)i】＾k＝【cos(1/3)＋i sin(π/3)】＾k
から
k = 1 のとき 1
k = 2 のとき √3
k = 3 のとき 2
k = 4 のとき √3
k = 5 のとき 1
k = 6 のとき 0
にどうしてなるのか分かりません。
宜しくおねがいします

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

此の問題には、様々な要素があります。

（１）確率・・・此の問題では大した意味をもちません。
　単に各事象が１／６でおきると。
（２）期待値・・・各距離に（１／６）を掛けた総和　→（１／６）＊総和
（３）弧度法・・・本質的に必要になるのは微積ですので、
　度数法（６０分法）で書きます。
（４）複素数平面・・・案外出ません、次のＳＩＴＥが見易いのですが、
http://www.crossroad.jp/mathnavi/category/fukusosuu/index.html
MathPlayerのインストールが必要です。
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→数学ナビゲーターでは MathPlayer(フリーソフト）
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→Download MathPlayer Setup （多分、こうです。何とかなります。）
（５）複素数の絶対値（大きさ）
（６）ド・モアブルの定理・・・知らなくとも解けますが、本質に関与します。
（７）三角関数・・・図形的処理、複素数の極形式に必要です。
（８）三角関数の加法定理
（９）１の６乗根
ーーーー
＞＞α=【(1/2)+(√3/2)i】＾kとする。

此のままでも、解けます。順に【(1/2)+(√3/2)i】を掛けます。

k=1、α=【(1/2)+(√3/2)i】
k=2、α=【(1/2)+(√3/2)i】【(1/2)+(√3/2)i】=【(-1/2)+(√3/2)i】
k=3、α=【(1/2)+(√3/2)i】【(-1/2)+(√3/2)i】=【(-1/4)+(-3/4)】=-1
k=4、α=(-1)【(1/2)+(√3/2)i】=【(-1/2)+(-√3/2)i】
k=5、α=【(-1/2)+(-√3/2)i】【(1/2)+(√3/2)i】=【(1/2)+(-√3/2)i】
k=6、α=【(1/2)+(-√3/2)i】【(1/2)+(√3/2)i】=1

＞＞点Ａ(1)と点Ｂ(α)の距離
（距離）＝（大きさ）＝（絶対値）
複素数、Ｚ＝Ａ＋Ｂi　の（大きさ）は、√（Ａ＾２）＋（Ｂ＾２）・・・三平方。

k=1、|1-α|=|1-【(1/2)+(√3/2)i】|=|(1/2)-(√3/2)i|=1
k=2、|1-α|=|1-【(-1/2)+(√3/2)i】|=|(3/2)-(√3/2)i|=√3
k=3、|1-α|=|1-(-1)|=2
k=4、|1-α|=|1-【(-1/2)+(-√3/2)i】|=|(3/2)+(√3/2)i|=√3
k=5、|1-α|=|1-【(1/2)+(-√3/2)i】|=|(1/2)+(√3/2)i|=1
k=6、|1-α|=|1-1|=0

期待値 E=(1/6)(1+√3+2+√3+1+0)=(4+2√3)/6=・・・
と出ても、何か・・・。
ーーーー

やはり、（６）ド・モアブルの定理　です。

準備。
二つの、大きさ１の、極形式で表された複素数、
Ｚ1＝【(cosθ1)+i(sinθ1)】
Ｚ2＝【(cosθ2)+i(sinθ2)】
Ｚ1*Ｚ2
=【(cosθ1)+i(sinθ1)】【(cosθ2)+i(sinθ2)】
=【(cosθ1)(cosθ2)-(sinθ1)(sinθ2)】+i【(sinθ1)(cosθ2)+(cosθ1)(sinθ2)】
（８）三角関数の加法定理
=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)

Ｚ1/Ｚ2
=【(cosθ1)+i(sinθ1)】/【(cosθ2)+i(sinθ2)】　
　分母・分子に、【(cosθ2)ーi(sinθ2)】を掛けて、
=【(cosθ1)+i(sinθ1)】【(cosθ2)-i(sinθ2)】
=【(cosθ1)(cosθ2)+(sinθ1)(sinθ2)】+i【(sinθ1)(cosθ2)-(cosθ1)(sinθ2)】
（８）三角関数の加法定理
=cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)

ふたつを並べると、
【(cosθ1)+i(sinθ1)】【(cosθ2)+i(sinθ2)】=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)・・・（＃）
【(cosθ1)+i(sinθ1)】/【(cosθ2)+i(sinθ2)】=cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)

上式で、θ1＝θ2＝θ　と置くと、
【(cosθ)+i(sinθ)】＾２＝cos(２θ)+isin(２θ)
さらに両辺に、cos(θ)+isin(θ)を掛けると、
【(cosθ)+i(sinθ)】＾３＝【cos(２θ)+isin(２θ)】【cos(θ)+isin(θ)】
　（＃）の繰り返し
【(cosθ)+i(sinθ)】＾３＝【cos(３θ)+isin(３θ)】
・・・と続いて、
【(cosθ)+i(sinθ)】＾ｎ＝【cos(ｎθ)+isin(ｎθ)】・・・（６）ド・モアブルの定理。

意味は、
【cos(θ)+isin(θ)】を２乗するとθ（偏角・arg・argument）が２倍、
【cos(θ)+isin(θ)】を３乗するとθ（偏角・arg・argument）が３倍、
【cos(θ)+isin(θ)】をｎ乗するとθ（偏角・arg・argument）がｎ倍、
ーーー

此の問題の図形的　ＩＭＡＧＥは、各点Ｂ(α)は
β＝【(1/2)+(√3/2)i】＝【cos６０度+isin６０度】として、

α＝β^1＝【cos６０度+isin６０度】
α＝β^2＝【cos１２０度+isin１２０度】
α＝β^3＝【cos１８０度+isin１８０度】
α＝β^4＝【cos２４０度+isin２４０度】
α＝β^5＝【cos３００度+isin３００度】
α＝β^6＝【cos３６０度+isin３６０度】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　β^2　　　　　　　　　　　　　　　β^1
　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
β^3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ（１）、β^6　
　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　・　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・　
　　　　　　・　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　β^4　　　　　　　　　　　　　　　　β^5
　　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　　　・
各点を結ぶと正６角形となり、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ（１）と点Ｂ（β^1）の距離は、正三角形より　１
Ａ（１）と点Ｂ（β^2）の距離は、図形で処理して、√３
Ａ（１）と点Ｂ（β^3）の距離は、２
Ａ（１）と点Ｂ（β^4）の距離は、図形で処理して、√３
Ａ（１）と点Ｂ（β^5）の距離は、正三角形より　１
Ａ（１）と点Ｂ（β^6）の距離は、０

尚、６点は　（９）１の６乗根。
ーーー

補足

解説ありがとうございます。
k=1、|1-α|=|1-【(1/2)+(√3/2)i】|=|(1/2)-(√3/2)i|=1について教えてください
|(1/2)-(√3/2)i|=1の計算方法を教えてください。
iがあるからどのように計算するのでしょうか？

回答No.3

banakona

＞|(1/2)-(√3/2)i|=1の計算方法を教えてください。

複素数ａ＋ｂｉの絶対値は　√（ａ^2＋ｂ^2）
です。だから　|(1/2)-(√3/2)i|＝√{(1/2)^2＋(-√3/2)^2｝＝√(1/4＋3/4)＝√１＝１

お礼

どうもありがとうございます。

補足

どうもありがとうございます。
とても丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.1

fukuda-h

>α=【(1/2)＋(√3/2)i】＾k＝【cos(1/3)＋i sin(π/3)】＾k
ではなくて
α=【(1/2)＋(√3/2)i】^k＝【cos(π/3)＋i sin(π/3)】＾kですね
さらに、ド・モアブルの定理によって
α=【cos(π/3)＋i sin(π/3)】＾k
＝【cos(kπ/3)＋i sin(kπ/3)】・・・（1）
となります
複素数平面でαは原点を中心とする半径1の円周上の点で点Ａ(1)をひとつの頂点とする正六角形の頂点になります。
（1）にｋ＝1,2,3,4,5,6と代入すればいいのです