紐の運動を調べよ・・・

質問

長さLで、線密度ｐの紐を摩擦のない机の上に置き、長さaだけその机の端から垂らして静かに手を離す・・・。その後の紐の運動を調べよ。

どうなるんでしょう？たぶん落下して行くのだとは思いますが…。
でも、aがものすごく微小だった場合はそのまま静止し続けますよね？
じゃぁa＞何のとき、落下運動をするのでしょう？
そこら辺も兼ねて運動方程式を教えてくれるとありがたいです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

紐と机の間に摩擦はないものとみなせますから、ａ＞０ならば紐は引きずり落ちていきます。
　紐は垂れ下がった部分の重さによって引きずられますが、引きずられる加速度は、この垂れ下がりの部分に比例して増えていきますので、垂れ下がりの長さは指数関数的に増加することが予想されます。

　さて、運動方程式ですが、机の高さを０として鉛直下方を＋方向にｘ軸をとれば次のようになります。
　　Lp(d^2x/dt^2) = pxg
　また、時間ｔを手を静かに放した瞬間をｔ＝０となるようにとれば、初期条件は、
　　t=0のとき、x=a, dx/dt=0
となります。
　そこで、この初期条件で運動方程式を解けば、
　　x = a cosh{t√(L/g)}
が得られると思います。
　この解は、ｔ→∞で、a/2 exp{t√(L/g)}に漸近しますので、最初に洞察した、垂れ下がりの量が時間とともに指数関数的に増えていくことが正しかったと言えます。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます!!!
参考になりました。＼(^o^)／
先生の板書より100倍わかりやすいとです(*^_^*)

回答No.2

noel_lapin

a>摩擦力のときに落下すると思います。ひもの机の間の静摩擦より、たれ下がったひもの重さが大きいと落下しはじめ、落下の加速度はたれさがり部分の重力から机上のひも部分の動摩擦を引いた力にでしょうか。しかし、摩擦は無視するという条件の問題なので、たれさがりの部分がどんなに短くても落下が開始すると考える、ということですね。

お礼

おぉ！摩擦がない場合「たれさがりの部分がどんなに短くても落下が開始する」んですか～(~o~)日常生活の中で想像出来なかったので、助かりました(ToT)/~~~　ありがとうございます！