解析力学（一般化座標の独立性）について

質問

最近、解析力学の勉強を始めた者です。
一般化座標を導入し、ラグランジェの方程式に行く途中で理解できないところがあります。
位置ベクトルをrとして、ｒdot=Σ(s=1～n)(∂r/∂qs)qsdot+∂r/∂t
となるところまでは理解できたのですが、この式をqkdotで偏微分すると、∂rdot/∂qkdot=∂r/∂qkとなることが理解できません。
ここでは、qkとqkdotを独立としているのでしょうが、なぜ独立としていいのでしょうか？
ここ一週間ほど考えているのですが、どうしても分かりません。どなたか教えてくれませんか？

回答No.9

eatern27 · ベストアンサー

細かいことは抜きにして、
∂rdot/∂qdot
というのが、物理的にどういう状況を考えているのかという事を書いてみますと、

ある時刻に、位置qにいて,qの時間微分がqdotであるような粒子Ａと、
同時刻に、位置qにいて,qの時間微分がqdot+Δqdotであるような粒子Ｂ
を(仮想的に)考えます。

粒子Ａの速度ベクトルを、rdot(q,qdot)とすれば、
粒子Ｂの速度ベクトルは、rdot(q,qdot+Δqdot)と書けることになります。

そうすると、粒子ＡとＢの速度の差Δrdot＝rdot(q,qdot+Δqdot)-rdot(q,qdot)というものを考える事ができます。この両辺をΔqdotで割って、Δqdot→0の極限をとったものが、∂rdot/∂qdotです。

ある時刻位置qにいて,その時間微分がqdotであるような粒子を色々と考える事ができますよね。特に、同じ位置qにいるけどその時間微分の値は違うという２つの粒子を考えたりしても何ら問題はありません。そういう意味で、qとqdotは独立になります。

q(t)とqdot(t)と書いたら、『1つの』粒子の運動を追っている事になるので、q(t)を決めればqdot(t)も決まることになりますが、ここでいうqとかqdotというのは単なる実数(の組)であって、q(t)のような粒子の軌道とは違うんです。

お礼

つまり独立となるのは、ある時刻におけるqとdot(q)で、最終的に関係をもつのは、すべての時刻を考えた軌跡（関数）としてのq(t)とqdot(t)だ。ということなのでしょうか？

回答No.2

moumougoo

面倒なのでdf/dt=f'とあらわします。一般に
dr=(∂r/∂q)dq+(∂r/∂q')dq'+(∂r/∂t)dt---(☆)
で、(☆)をdtで割ると
r'=(∂r/∂q)q'+(∂r/∂q')dq''+(∂r/∂t)---(☆☆)
となります。この場合(∂r/∂q')=0でrはq'を含まない式になっていることを意味します。
r'=(∂r/∂q)q'+(∂r/∂t)---(☆☆☆)
(☆☆☆)では、あきらかにr'がq'を含んでいます。そこで、両辺をq'で微分すると
(∂r'/∂q')=(∂r/∂q)
です。なぜなら、(∂r/∂q)、(∂r/∂t)はq'を含まないからです。

意味的には
r=r(q,t)
Δr=r(q+q'Δt,t+Δt)
(∂Δr/∂q')=(∂r/∂q)Δt
となっているので、両辺をΔtでわって、与式をえるといったところでようか

補足

夜遅くに回答ありがとうございます。考える際、参考にさせていただきたいと思います。

回答No.1

connykelly

＞qkとqkdotを独立としているのでしょうが、なぜ独立としていいのでしょうか？

運動方程式は時間の2階微分で、一回積分すると速度を初期条件に、もう一回積分すると位置が初期条件になりますから、運動はその各瞬間の位置と速度を決めてやれば定まるということになります。つまり、位置（一般化座標qk)とその速度(qkの時間微分)を独立変数に取り込んだものがLagrangianで、L(qk,qkdot,t)とかかれます、ということでいかがでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
qkとqkdtotの間には一般には微分方程式の関係があると思うのですが、それにもかかわらず、独立と考えてもよいのでしょうか？