解析力学の問題です。

質問

解析力学の問題です。
方針が全く立たず、困っています・・・。
どちらか片方だけでも、回答宜しくお願いしますm(_ _)m

1.
電磁波について考える。
Lagrangeの運動方程式として電荷の存在しない場合のMaxwell eqsが得られるLagrangian密度を求めよ。

2.
電子が、電場E、磁束密度Bのなかで運動している。
このときのLagrangianとHamiltonianを求めよ。

2番の問題は、
ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを利用して計算するということは分かったのですが、
そのあとどういった方法で答えを導き出すかが見当もつかないです・・・。

回答No.2

grothendieck

何しろ最先端の話題にもレベルの高い回答がすぐに来るすばらしいサイトですから、他のお歴々はこんな簡単な問題はあほらしくて回答できないそうです。

自由電磁場のラグランジアン密度が

　L = (-1/4)FμνFμν

になることは常識。相互作用がある場合、ゲージ不変性の要求からラグランジアンの形が決まることも常識ですが、あまりにも基本なので誰も回答しないようですね。
http://ocw.tsukuba.ac.jp/74065de55b667fa430fb726974065b66985e/89e36790529b5b66/8b1b7fa99332

ここでラグランジアンがゲージ変換の下で不変でなく時間についての全微分だけ変化することについては昔江沢洋が数学セミナーに書いていたと思うので自分で探してください

回答No.1

fukusuke6322

1番については分かりません。2番は以前に取り組んだことがあります。参考書をみても途中経過なくポテンシャルが与えられていて不満足でした。(1)なぜその形になるのか、(2)どのように全微分形にできるのかが問題でした。自分なりに納得しているのが以下の手順です。参考になれば。

mr”=F(r,t)=-∇V(r,t)= e{E(r,t)+r’×B(r,t)}
以下の関係を使用する。
E=-∇φ-∂A/∂t
B=∇×A
dA(r,t)/dt=∂A/∂t+(r’・∇)A)
∇(r’・A)=(r’・∇)A+(r’×∇×A)

∇V(r,t)=-F(r,t)=-e{E(r,t)+r’×B(r,t)}=-e{-∇φ(r,t)-∂A(r,t)/∂t+r’×∇×A}
=e{∇φ+∂A/∂t+(r'・∇)A-∇(r’・A)}
=e{∇(φ-r’・A)+dA/dt}=e{(∂/∂r)(φ-r'・A)-(d/dt)(∂/∂r’)(φ-r’・A) }
=e(d/dr)(φ-r’・A)
ゆえに、
位置エネルギーV=∫∇V・dr=e(φ-r’・A)=e{φ(r,t)-r’・A(r,t)}
運動エネルギーT=∫mr”・r’dt=(m/2)r’^2
ラグランジアンL=T-V=(m/2)r’^2-e(φ-r’・A)

p=∂L/∂r’=mr’+eA(r,t)⇒r’=(1/m)(p-eA)
H=p・r’-L(r,r’,t)←(r’を消去する)
=(1/m)p・(p-eA)-(1/2m)(p-eA)^2-(e/m)(p-eA)・A+eφ
=(1/m)(p-eA)^2+(e/m)(p-eA)・A-(1/2m)(p-eA)^2-(e/m)(p-eA)・A+eφ
=(1/2m)(p-eA)^2+eφ

ハミルトニアンH=(1/2m)(p-eA(r,t))^2+eφ(r,t)