運動方程式について（初歩質問）

質問

はじめまして。よろしくお願いします。

運動方程式の立て方についてお聞きしたいのですが、

問題で、物体を地上の一点から、水平面（xy方向）と角度Θの方向に初速Ｖゼロで投げるときの運動方程式が

Ｆ(ベクトル)＝（０，０，－mg）となるようなのですが、
なぜ、X方向のV0cosΘと、鉛直方向Z方向のV0sinΘは
無視されるのでしょうか？

私の考えでは

１、投げ上げた瞬間～最高点到達まで
F＝（v0cosΘ，０，v0sinΘ-mg）

２、最高点到達後～地面につくまで
　F＝（v0cosΘ，０，-vosinΘ-mg）

だと考えてしまいました。

また、１軸だけで（例えば水平右向きを正にとる。など）で考えるのかな？そうならばわかるなと思ったのですが、

違う問題で
質量mの物体を、傾斜角αの斜面の下から初速V0で直上昇させる場合で、

斜面をX軸とし、その斜面に垂直をY軸とすると
F=（-mgsinα-μN，N-mgcosα，０）となるようで、

これだと斜面上方を正とする軸と、斜面に鉛直上方を正とする軸というふうに２軸で考えているんで・・・・・

というように、運動方程式がよくわかりません。教えていただけませんでしょうか？

回答No.6

KENZOU · ベストアンサー

＃1のKENZOUです。
＞Z軸とはなんですか？
＞重力も抗力もY軸だと思うのですが・・・・
＞それとも、重力は斜面に垂直じゃないので力の分解しな
＞くてはいけないのでX軸、Y軸にも関係がありその２軸に
＞垂直がZ軸といういみでしょうか

まず、ｘ,ｙ,ｚ軸というのは地球にしっかりと固定された軸ではない、ということを頭に入れてください。決して天に向かってｚ軸というものが伸びているわけではないのです（習慣的にそのように考えやすいが、、、）。
運動方程式は物体の位置の時間変化を表すものですから、位置は座標の変化で捉えます。具体的には、3次元空間での運動は3つの独立変数（例えばx,y,z）の時間変化で表すことができますね。この独立変数のとり方はx,y,ｚの直角座標やr,θ、φの極座標、円柱座標、曲面座標など、いろいろあり、それぞれの座標系は互いにある関係で結ばれています｛例えば（x,y,x)⇔(r,θ,φ）の変換はよく目にすると思います｝から、結局運動方程式が簡単になるような座標系（うるさく言えば3つの独立変数）を選択すればいいわけです。
そこで再び
＞Z軸とはなんですか？
に戻りますが、上にのべたことから、
＞２軸に垂直がZ軸といういみでしょうか
まさにご指摘の通りです。

回答No.7

noname#11476

>もう一度積分してv=dx/dtと答えを出すんですね。
はい。まさにそのとおりです。
積分していくと、
加速度－＞速度－＞位置
ですね。

回答No.5

Mell-Lily

物体を真上に投げれば、物体は、やがて、速度を失って落下し始め、投げた位置に戻ってきます。このときの物体の運動を調べるためには、鉛直方向にx軸を設定すれば、十分ですね。

回答No.4

noname#11476

Ｆ＝ｍａ

というのが方程式ですね。で、これはＦという力がｍという質量の物体にかかっている、つまり力が加えられているという意味です。

初速度Ｖ０になるまで物体を加速するときには、物体に力を加えていました。
で、このときにはもちろん重力という力も掛かっていました。
更に物体を保持してるものがこの重力に逆らう力を加えていました。
（ボールを手に持って投げる場合であれば、ボールが下に落ちないように手で支えていて、更に手でボールに力を加えている）

ところが射出した瞬間（ボールを投げた瞬間）には、ボールに掛かる力は何であるか？
重力はかかっていますね？
で他には？厳密に言うと空気抵抗がありますが、空気抵抗を無視するとボールにかかっている力はありませんね。

だから、Ｆ＝（０，０，－ｍｇ）となるのです。
他には力が掛かっていませんから。
Ｆは力であり、速度ではないのです。

力と速度を混同しては行けません。
Ｆ＝ｍａ　はＦの力を質量ｍの物体に力を加えると、ａという「加速度」が付くという意味です。

お礼

なるほど。

a=F/m

なのでこの方程式を解くとき積分してa=dv/dt、
もう一度積分してv=dx/dtと答えを出すんですね。

回答No.3

Mell-Lily

ニュートンの運動方程式は、
　F=ma
ですね。この問題においては、ベクトルFは、
　F=(0,0,-mg)
です。これは、運動方程式ではなくて、ベクトルFの成分表示です。

お礼

ありがとうございます。
この問題がX軸に角度をつけて投げる問題ではなく、真上に投げ上げるとき、

F＝-mg　
になってしまうのはなぜなのでしょうか？
なぜこのときもF＝（０，０，-mg）にならないのでしょうか？

回答No.2

keyguy

運動方程式は
質点の質量をｍとし
質点に働く力ベクトルをｆ（ｔ）とし
質点の位置ベクトルをｒ（ｔ）とすれば
ｆ（ｔ）＝ｍ・ｒ”（ｔ）です。

地上では重力加速度ベクトルをａ（一定）とすれば
ｆ（ｔ）＝ｍ・ａだから
ｍ・ａ＝ｍ・ｒ”（ｔ）です。
ｒ”（ｔ）＝ａだから
単純に両辺を２回積分すれば
ｒ’（ｔ）＝ａ・ｔ＋ｒ’（０）
ｒ（ｔ）＝ａ・ｔ＾２／２＋ｒ’（０）・ｔ＋ｒ（０）
です。

これは原点が地上に対して固定していて座標軸が地上で回転していないという条件で座標をどのようにとっても同じです。
上方にｚ軸をとり上方を正の向きとした場合
ａ（ｔ）＝（０，０，－ｇ）となります。
そのとき
ｒ（ｔ）＝（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ））とすると
ｘ（ｔ）＝ｘ’（０）・ｔ＋ｘ（０）
ｙ（ｔ）＝ｙ’（０）・ｔ＋ｙ（０）
ｚ（ｔ）＝－ｇ・ｔ＾２／２＋ｚ’（０）・ｔ＋ｚ（０）
です。

回答No.1

KENZOU

＞Ｆ(ベクトル)＝（０，０，－mg）となるようなのですが、
＞なぜ、X方向のV0cosΘと、鉛直方向Z方向のV0sinΘは無視
＞されるのでしょうか？

力は重力(mg)しか作用していませんね。X方向のV0cosΘと、鉛直方向Z方向のV0sinΘは速度のX,Z成分であって力ではありません。

＞斜面をX軸とし、その斜面に垂直をY軸とすると
＞F=（-mgsinα-μN，N-mgcosα，０）となるようで、

絵を書いて考えてみましょう。斜面上方に向かって＋x方向、斜面に垂直な上方方向を＋y方向とすると、成分Fのｘ成分（Fx)は重力の分が-mgsinα、摩擦力はｘ軸のマイナス方向に作用するので-μNとなります。質点に作用するｘ軸方向の力はこの2つの力の合成になりますから
Fx＝-mgsinα-μN
次にｙ軸方向の力Fyはy軸のプラスの方向に抗力N、一方y軸のマイナス方向には-mgcosαが作用しますので、その合力Fy
は
Fy＝N-mgcosα
となります。ｚ軸方向の力の成分は、今の場合、重力とも抗力とも直角な方向になりますから０となりますね。

以上、運動方程式を立てる場合は、方程式が簡単になるように座標軸を選ぶということが大変重要なポイントとなります。

お礼

ありがとうございます。
最後から四行目の
「ｚ軸方向の力の成分は、今の場合、重力とも抗力とも直角な方向になりますから０となりますね。」
なのですが、

Z軸とはなんですか？
重力も抗力もY軸だと思うのですが・・・・

それとも、重力は斜面に垂直じゃないので力の分解しなくてはいけないのでX軸、Y軸にも関係がありその２軸に垂直がZ軸といういみでしょうか？