平方数でない整数の平方根は無理数であることの証明
すみません。高齢者なので使用する文字はすべて正の整数とします。
整数の平方根で整数になるのは1,4,9,16のような平方数だけです。例えば5の平方根を考えた場合、
4の平方根は2、 9の平方根は3ですから、5の平方根は2と3の間の数となり絶対に整数にはなりません。以上は単なる確認です。
そこで平方数ではない整数をaとします。これの平方根を√aと表記します。確認通り√aは整数にはなりません。この非平方数の平方根が分数で表現できるかどうかが問題です。
√a=n/mと分数で表現できるとします。ここでｎとｍは互いに素であるとし、当然ｍ≠1です。
両辺を2乗すると a＝ｎ2/ｍ2 となります。ここでaは整数です。ｎ2とｍ2にも共通の約数はないので、ｎ2/ｍ2は整数にはなりません。すると左辺は整数、右辺は小数（小数点以下が0ではない純粋の小数）になるのでこれは矛盾です。従って平方数ではない整数の平方根は全て無理数である。
質問は、こんなに簡単な証明でいいのだろうか？基本的なところで考え方に穴があるのではないだろうか？ということです。ご教示願います。
