中学数学 平方根

質問

問:√120＋a²が整数となる自然数aは全部で何個あるか、求めなさい。

画像は解答です。解答で分からないところがあります。
例えば、『A+a=120、A-a=1のとき、これを満たす自然数A.aの値はない』や、『A+a=60、A-a=2のとき、A＝31、a=29』などとありますが、A.aの値はどうやって求めているのですか？

また、A+a=〇〇、A-a=〇〇というのをいくつも書いていますが、これはどうやって求めるんですか？どの数ととどの数をかければ120になる、というのを覚えておく必要があるんですか？24×5が120なのはパッと思いつく自信がありません。。教えて欲しいです

回答No.3

Higurashi777 · ベストアンサー

＞例えば、『A+a=120、A-a=1のとき、これを満たす自然数A.aの値はない』や、『A+a=60、A-a=2のとき、A＝31、a=29』などとありますが、A.aの値はどうやって求めているのですか？

まず、A=√(120+a^2)と置きますよね。
aは自然数という定義がありますから、Aがマイナスになることはありえません。
で、両辺を2乗して式を整理して、(A+a)(A-a)=120 となるところまでは理解されていますか？
Aは正の整数、aは自然数ですから、A+aは正の整数になることは確定です。また、仮にA<aだとすると(A-a)はマイナスになるので答えが120になることはありえません。なので必然的にA>aとなります。
ということは
・(A+a)、(A-a)はいずれも正の整数
・(A+a)ｘ(A-a)が120になる
ということが確定します。
２つの数字を掛けて120になるのは、
1 x 120
2 x 60
3 x 40
4 x 30
5 x 24
6 x 20
7 なし
8 x 15
9 なし
10 x 12
11 なし
12以上は初項と２項目の入れ替えになるので考えなくて良いので、2項の組み合わせは上記の組み合わせ以外にありえません。

Aとaの組み合わせは２式を足すことで求められます。
例：A+a=120、A-a=1の場合
二式を足して2A=121。　Aは整数なので2Aは偶数。なので組み合わせはありません。
A+a=60、A-a=2の場合
二式を足して2A=62。よってA=31、a=29となります。
同様に、A+a=40、A-a=3の場合
二式を足して2A-43。Aは整数なので2Aは偶数。なので組み合わせはありません。

というように求めます。

＞どの数ととどの数をかければ120になる、というのを覚えておく必要があるんですか？
覚えておくに越したことはありませんが、両方とも正の整数ですから、上記で示したように片方を１から順にあげていって当てはまるかどうかを考えれば良いだけです。いわゆる「力技」ですね。

以上、ご参考まで。

お礼

回答ありがとうございます。

補足

あと1つ質問なんですが、
＞12以上は初項と２項目の入れ替えになるので考えなくて良い
というのは、120の場合だけですか？他の数字がでてきた時はどうすればいいんでしょうか。質問ばかりですみません

回答No.4

Higurashi777

＞12以上は初項と２項目の入れ替えになるので考えなくて良い
というのは、120の場合だけですか？他の数字がでてきた時はどうすればいいんでしょうか。

120の場合だけではなく、ほかのすべての数字でも考え方は同一です。
先程の例で２項の組み合わせでの掛け算が120になる組み合わせを12以降ですべて書くと

10 x 12
12 x 10
15 x 8
20 x 6
30 x 4
40 x 3
60 x 2
120 x 1
になりますよね。初項が12以降の組み合わせは初項と二項が入れ替わるだけですから、考える必要はありません。
また、この問題であればA>aであることは明白ですから、A>aにならない組み合わせは考えなくても良い、ということも合わせて留意しておく必要があります。（すなわち第一項と第二項の数値の大小関係が逆転するまでを考えれば良い（＝逆転した後は考える必要がない）ということになります）

以上、ご参考まで。

お礼

分かりました！ありがとうございます。

回答No.2

NuboChan

＞A+a=120、A-a=1のとき、これを満たす自然数A.aの値はない

A=120-aなので(120-a)-a=1
120-2a=1
120-1=2a
119=2a
a=59.5
A=60.5

∴A.aの値は、自然数ではない。

『A+a=60、A-a=2のとき、A＝31、a=29』についても同意

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

m-take0220

> A.aの値はどうやって求めているのですか？

A+a=120、A-a=1の場合、両辺を足すと

A+a+A-a = 120 + 1
2A = 121
A = 121/2 なのでAは自然数ではない

A+a=60、A-a=2も同様に

A+a+A-a = 60 + 2
2A = 62
A = 31
A+a = 31+a = 60
a = 60-31 = 29

> どの数ととどの数をかければ120になる、というのを覚えておく必要があるんですか？

120を素因数分解して、2^3×3×5とすれば、その組み合わせで
2と2^2×3×5 => 2と60
2^2と2×3×5 => 4と30
2^3と3× 5 => 8と15
3と2^3×5 => 3と40
2×3と2^2×5 => 6と20
2^2×3と2×5 => 12と10
2^3×3と5 => 24と5
のように導けます。

お礼

回答ありがとうございます。