極限の証明 （２変数）

質問

２変数関数において、
　　lim　　x　　= 　a
(x,y)→(a,b)
となることをεδ法で証明しなさい。

以下教科書に載っていた答え↓
_______________________________________
どんな実数ε＞０においても、
０＜√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜δのとき、
｜x - a｜<ε　が成り立つとような
δが存在することを示せばよい。

まず、
√{(x-a)^2+(y-b)^2}　＞　√{(x-a)^2}＝｜x - a｜　といえる。
よって、δ＝εとすれば、
０＜√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜δのとき、
｜x - a｜＝√{(x-a)^2}＜√{(x-a)^2+(y-b)^2}＜ε
が成り立つので、証明できたといえる。
________________________________________________
このようになっていたのですが、
この証明の中の、
√{(x-a)^2+(y-b)^2}　＞　√{(x-a)^2}
この不等式の不等号は、
何故「以下“>=”」ではなく「未満“>”」にしているのでしょうか？
ｙ＝ｂであれば、
√{(x-a)^2+(y-b)^2}＝√{(x-a)^2}といえるとおもうのですが・・・。
「以下」にしない理由を知っている方がいたら教えてください。
（それとも、教科書が間違っているのでしょうか？）

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

再び

少し考えが足りませんでした。
x≠a、y=bはありえるので、
√{(x-a)^2+(y-b)^2}≧√{(x-a)^2}
のほうが正しいと思われます。

お礼

解答ありがとうございます。
やはり、この場合は
＝を不等号につけていいのですね。

ありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

ん～, なんか表現に引っ掛るものを感じるなぁ.
まず, 等号はあるべきだと思います. #1, 2 で既に書かれていますが, 「x = a かつ y = b」である必要はないものの, これは y ≠ b を当然に意味するものではありません. なので, 等号を入れた方が安全です. ちなみに等号は入ってもやはりδ = εととれます.
あと, 最後の「証明できたといえる」というのは証明の最後に書く文章としては変です. なんか自信なさそうな感じ. もっとはっきり「証明できた」と書いた方が, 余計な疑念を持たれなくていいと思う.

お礼

解答ありがとうございます。
（もともと英語表記の問題を訳したものなので、
最後の文はが少しおかしくなっているのかもしれません。）

やはりこの場合教科書が間違っているとかんがえていいのですね。
おかげでスッキリしました。
ありがとうございます。

回答No.1

zk43

一般に極限を考えるときは、(x,y)≠(a,b)なる(x,y)を(a,b)に近づける
ので、「＝」が含まれません。

極限を考える関数が(a,b)で定義されている必要はないからです。

連続性を考えるときは、極限を考える関数が(a,b)でも定義されていな
くてはなりません。
質問では、単に極限を議論していると思われます。

また、質問の例では、xが(a,b)でも定義され、値がaなので、(a,b)で
連続だといえます。