毎秒確率 p で死ぬ虫３匹が、全滅するまでの時間の期待値？

質問

「毎秒確率 p で死ぬ虫」３匹が、全滅するまでの時間の期待値の求め方を教えていただけないでしょうか？

毎秒確率 p で死ぬ虫が「１匹だけ」の場合は分かりました。
例えば、この虫が・・
　５秒目で死ぬ確率
　＝４秒間死なずに５秒目に死ぬ確率
　＝ (1-p)^4 p
ですよね。
従って、この虫が死んでしまう時間の期待値は
　1秒×p + 2秒×(1-p)p + 3秒×(1-p)^2 p + 4秒×(1-p)^3 p + ・・・
つまり、
　∞
　Σ ｎ(1-p)^(n-1) p ＝ 1/p
　n=1
となると思います。

ここまでは分かったのですが、これが
「三匹の虫が全て死んでしまうまでの時間」
の期待値だとどうやって計算すれば良いのでしょうか？

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

「より、」と書いたのはちょっと言葉が変だったかもしれませんね。

P(X≦n)=P(X1≦n)P(X2≦n)P(X3≦n)
から
P(X≦n)を計算し、
P(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)
によってP(X=n)を計算して、
平均＝ΣnP(X=n)
を計算する、という流れです。

なぜP(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)になるかというと、
X=nになるのはX≦nであって、X≦n-1でない、場合であるからです。
おわかりでしょうか？

X=nになるという事象を{X=n}と書くと、事象{X=n}は事象{X≦n}から
事象{X≦n-1}を除いた事象に等しくなります。
（ベン図というものを知ってますか？
X≦n-1ならばX≦nだから{X≦n}⊃{X≦n-1}であり、
{X=n}={X≦n}-{X≦n-1}をベン図を描いてみると良いです。）

あるいは、
具体的な数字で考えると、たとえば、１０秒で全滅する確率は、１０
秒以下で全滅する確率から、９秒以下で全滅する確率を引いた確率と
なります。
｛１０秒以下であり、９秒以下でない｝＝｛ちょうど１０秒｝
イメージできたでしょうか？

このように、ちょうどある数値である確率が求めにくい場合は、
まず、ある数値以下、あるいは、ある数値以上の確率を求めて、
これをもとに、ちょうどある数値である確率を求める、という
ことはよくあります。

確率論の一般理論で、確率関数、分布関数などを勉強すれば、
よくわかるようになると思います。
ちなみに、P(X1=n)=(1-p)^(n-1)*pは一般に幾何分布と言われるもので
す。

お礼

お返事おくれてすみません。
完璧です！

回答No.1

zk43

虫に１，２，３と番号を付けます。
虫１が死ぬまでの時間をX1とすると、ｎ秒目に死ぬ確率は、
P(X1=n)=(1-p)^(n-1)*p
X2,X3も同様。
３匹の虫が全部死ぬまでの時間はX=max(X1,X2,X3)です。
P(X≦n)=P(max(X1,X2,X3)≦n)
=P(X1≦n,X2≦n,X3≦n)
=P(X1≦n)P(X2≦n)P(X3≦n)
より、
P(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)
として計算を進めてはどうでしょうか。
（３匹の虫の死ぬのは互いに独立とします）

補足

ありがとうございます。

すみません。なぜ
＞　P(X1≦n)P(X2≦n)P(X3≦n)
＞　　より、
＞　P(X=n)=P(X≦n)-P(X≦n-1)
こうなるのかが分からないのですが、教えていただけないでしょうか・・