高校数学の確率の問題です、別解が分からないです

質問

以前同じ問題を投稿しましたが別解が分からないのでよろしくお願いします

右図のように12個の点A,B,C,D,E,F,G,H,K,Lが12本の線で結ばれている　粒子Pが点Aを出発してこれらの12個の点の間を次の規則に従って移動する　

(i)粒子Pは点ABCDの各点では上下左右のいずれか隣の点へ同じ確率1/4で1秒間で移動する

(ii)粒子Pが×印の付いた点GKのいずれかに達すれば直ちに消滅する　

(iii)粒子Pが○印の付いた点EFHIJLのいずれかの点に達すれば以後その点で停止し続ける　

出発してからn秒後に粒子Pが消滅する確率をp[n],停止する確率をq[n]とする、このとき、

(1)粒子Pが消滅する確率Σ[n1→∞]p[n],および停止する確率Σ[n1→∞]q[n]を求めよ

(2)粒子Pが消滅するか停止するまでの時間の期待値Σ[n1→∞]n(p[n]+q[n])を求めよ

(2)なのですが粒子Pが消滅するか停止するまでの時間の期待値をEとする　

点Aを出発した粒子Pは1秒後には点EかLで停止するか,点BかDに移る,点BかDに移動した
粒子Pがその後,停止するか消滅するまでの時間の期待値は,点Aから出発してから停止するまでの時間の期待値と全く同じであるから

初めから数えると(1+E)秒であるとあるのですが、点BかDに移動した
粒子Pがその後,停止するか消滅するまでの時間の期待値は,点Aから出発してから停止するまでの時間の期待値と同じになるという所が何故同じと言えるのか分かりません

　後の計算式はE=1×1/4×2+(1+E)×1/4×2とありましたこの式も
何故そうなるのか分からないです

回答No.14

MagicianKuma · ベストアンサー

>BやDに移ってからの停止するか消滅するまでの平均時間が1+EBや1+EDになっているのはEBやEDが0秒時にEやDに居たときから停止するか消滅するまでの平均時間だから実際はAから始まってBやDからは最短で1秒後だからですか？
正確に言うとね、
BやDに移ってからの停止するか消滅するまでの平均時間が1+EBや1+EDになっているのは、AからBやDに行くのに1秒かかります。BやDについてから時計をリセットして停止するまでの平均時間をEBやEDと考える訳です。ですからAに居たときからの通算時間は1+EBや1+EDとなるのです。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、有難うございました

回答No.13

MagicianKuma

>a+b+c=3×31=93, d+e+f+g+h+i+j+k=7×33=231　よってa+b+c+d+e+f+g+h+j+k=93+231=324より10人の平均は324/10=32.4
そうそうその通り、これを言葉で整理すると、10人の平均＝(3人の平均値*3+7人の平均値*7)/10になるね。この式を変形すると10人の平均値=3人の平均値*3/10+7人の平均値*7/10となる。この3/10とか7/10を重みと名付けたわけだ。平均値に重みがかかってる訳だ。
で元問題に戻って、EA=(1*5000+(1+EB)*2500+(1+ED)*2500)/10000　の式を順々に言葉で言えば、
EA(10000個の粒子の停止時間の平均値)=(平均1秒(全て1秒だから平均も同じ)*5000個+平均(1+EB)秒*2500個+平均(1+ED)秒*2500個)/10000個となる。
普通はEAとEBとEDは同じ値とは限らないが、今まで述べたようにこの問題の場合は対称性から、EAもEBもEDも同じ値になると言うわけ。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

用事がありまして、返答が大分遅くなりました、申し訳ないです

>EA(10000個の粒子の停止時間の平均値)=(平均1秒(全て1秒だ
>から平均も同じ)*5000個+平均(1+EB)秒*2500個+平均(1+ED)
>秒*2500個)/10000個となる。

BやDに移ってからの停止するか消滅するまでの平均時間が1+EBや1+EDになっているのはEBやEDが0秒時にEやDに居たときから停止するか消滅するまでの平均時間だから実際はAから始まってBやDからは最短で1秒後だからですか？

回答No.12

f272

>>粒子の個数の割合と平均時間を掛けたもの
> これが期待値の時間なのですか？

期待値の説明その１
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4
確率論において、期待値（きたいち）とは、確率変数の実現値を, 確率の重みで平均した値である。

期待値の説明その2
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuri2/kitaiti/kitaiti.htm
このとき，x1,x2,・・・,xn の各値に，それぞれの値をとる確率 p1,p2,・・・,pn を掛けて加えた値
Ｅ = x1p1+x2p2+・・・+xnpn
を，これらの値の 期待値 または，平均 といいます。

「粒子の個数の割合」が「確率の重み」とか「それぞれの値をとる確率 p1,p2,・・・,pn 」に相当して，
「平均時間」が「確率変数の実現値」とか「x1,x2,・・・,xn の各値」に相当します。
説明に書いてあるとおりだと思うぞ。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

用事があって返答遅れました、もう一度じっくり読んでみますね

回答No.11

MagicianKuma

No8に対するあなたの解法を述べてみて下さい。あなたの疑問点への回答はその後としましょう。

お礼

ご返答ありがとうございます

補足

>10人います。3人の平均値が31でした。残り7人の平均値が>33でした。では、全体(10人)の平均値は？
10人の値をa,b,c,d,e,f,g,i,j,kとします、3人の値をa,b,cとすると31=(a+b+c)/3,7人の値をd,e,f,g,h,i,j,kとすると33=(d+e+f+g+i+j+k)/7　よってa+b+c=3×31=93

d+e+f+g+h+i+j+k=7×33=231　よってa+b+c+d+e+f+g+h+j+k=93+231=324より10人の平均は324/10=32.4

回答No.10

f272

> 右辺ですが、粒子の個数と平均時間を掛けたものが何で左辺の平均時間と同じになるんですか？

EA=(1*5000+(1+EB)*2500+(1+ED)*2500)/10000 (1)
この式で考えると「粒子の個数と平均時間を掛けたものを総個数で割ったもの」

EA=1*1/2+(1+EB)*1/4+(1+ED)*1/4 (2)
この式で考えると「粒子の個数の割合と平均時間を掛けたもの」

どちらにせよ「粒子の個数と平均時間を掛けたもの」ではないよ。
(1)の方式で平均を考えるのは小学生で始めて平均を習うときです。しかし，式を変形すれば(2)の方式でも同じことだとわかります。それを重み付き平均の計算法として使うのはよくある手法ですから，ちゃんと理解したほうがよい。
重み付き平均というのは，個々の値にそれぞれの重み（全体に対する割合とか比率と言い換えてもよい）を掛ければ，平均が計算できると言うものです。「こういう求め方を使った事がないので理解しずらいです」なんて言ってないで，頭を使ってくださいね。

お礼

ご返答ありがとうございます

補足

>粒子の個数の割合と平均時間を掛けたもの
これが期待値の時間なのですか？

回答No.9

MagicianKuma

こう考えてもよいかも、最初(0秒時)にA点に粒子が10000個居たとしましょう。個々の粒子は同じ確率的な振る舞いで独立に動くとします。1秒後には半数の5000個がLかEに到着し停止します。2500個がBに到着します。Bに到着した粒子はそこからバラバラに更に移動を続け、あるものは次の1秒で停止するものもあり、AやCに移動し生き残るものもあります。それらのB点からの平均停止時間をEBとすれば、A点にいたときからの通算時間は(1+EB)秒と言うことになります。これらは2500個のものたちです。同様に最初にAからDへ移動した2500個の集団も通算(1+ED)秒後が平均停止時間となります。なので、全体10000個の平均停止時間は
EA=(1*5000+(1+EB)*2500+(1+ED)*2500)/10000=1*1/2+(1+EB)*1/4+(1+ED)*1/4　となります。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>EA=(1*5000+(1+EB)*2500+(1+ED)>*2500)/10000=1*1/2+(1+EB)*1/4+(1+ED)*1/4　となり>ます。
右辺ですが、粒子の個数と平均時間を掛けたものが何で左辺の平均時間と同じになるんですか？

回答No.8

MagicianKuma

10人います。3人の平均値が31でした。残り7人の平均値が33でした。では、全体(10人)の平均値は？
あなたならどう解きますか？式を書いてみて下さい。小中学生の問題です。
たぶん、(31＊3＋33＊7)/10 となるのでは？ この式と31＊3/10+33＊7/10を見比べてみて下さい。重みという意味合いが分かるかも。

お礼

ご返答ありがとうございます

補足

上に書きました

回答No.7

MagicianKuma

＞この時間とAからBかDに移ってそこから停止するか消滅するまでの平均の時間のEBやEDと同じになるのはおかしくないですか？EBとEDが同じなのはわかりますよ
EBやEDはそういう意味ではなく、もともと出発点がB（0秒にBにいた)としたら平均何秒後に停止するかという意味です。
こう考えてみましょうか、もともと0秒時にAには粒子aが、Bには粒子bが、Dには粒子dがいるとします。a,b,dはそれぞれ独立に1/4の確率で隣に移動するとする。粒子a,b,dは勝手にばらばらに動くのだけれど、aの平均停止時間EAもbの平均停止時間EBもdの平均停止時間EDも同じ値になるだろうと言うことです。
で、もとの問題にもどって、Aが1秒後に1/4の確率でBに移ったとする。その1秒後を改めて0秒時とみなしてそこから平均何秒後に止まるだろうと考えると、0秒時にBにいた粒子bと同じ振る舞いをしてEB秒後になるだろうと言うことです。
A---->【E,Lに行く(1秒で停止した）】　　こういうことは1/2の確率でおきるだろう
A---->【Bにいく(1秒たったが停止せず)-->その後粒子bと同じ振る舞いをしてEB秒後に停止する。】　こういうことは1/4の確率でおこるだろう
A---->【Dにいく(1秒たったが停止せず)-->その後粒子dと同じ振る舞いをしてED秒後に停止する。】　こういうことは1/4の確率でおこるだろう
なので、Aの平均停止時間は　1秒で停止*1/2+(1+EB秒後に停止)*1/4+(1+ED秒後に停止)*1/4

寄与というのは重みと言い換えてもよいです、次の例では理解できるかな？
10人います。3人の平均値が31でした、残り7人の平均値が33でした。では全体(10人)の平均値は？
31*3/10+33*7/10となります。31という平均値に3/10という重みをかけています。33という平均値に7/10という重みをかけています。その和が求める平均ですよといっている。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

御返答遅れて申し訳ないです、用事で遅れました

>aの平均停止時間EAもbの平均停止時間EBもdの平均停止時間>EDも同じ値になるだろうと言うことです。
ここまでは分かりました

>A---->【Bにいく(1秒たったが停止せず)-->その後粒子bと>同じ振る舞いをしてEB秒後に停止する。】　こういうことは>1/4の確率でおこるだろう

こういうことは1/4の確率でおこるだろうの所でAから1秒後Bに行くのは1/4の確率は分かりますが、そこからBからEB秒かかるというのも1/4の確率で起こるというのが良く分からないです

>1/2+(1+EB秒後に停止)*1/4+(1+ED秒後に停止)*1/4
同じ理由でこの式の1/4が1+EB秒後に停止に掛かっているのが分からないです

>31*3/10+33*7/10となります。31という平均値に3/10とい>う重みをかけています。33という平均値に7/10という重み
>をかけています。その和が求める平均ですよといっている。
こういう求め方を使った事がないので理解しずらいです　式を見ると3人、7人の場合の平均値を出しているように見えます

回答No.6

f272

> これに1/4をかけてるのは何故ですか？AからBに移る確率は1/4ですが、Bから停止するか消滅するまでの平均に1/4を掛けるのが分からないです、

この分野で期待値と言うのは，平均値と同じ意味です。
AからBに移る確率は1/4なのですから，AからBを経由して停止消滅するまでの平均時間の，全体の平均時間に対する寄与率は1/4でしょう。

Aから出発して停止消滅するまでの平均時間を計算するとき，経由する地点で場合わけしてそれぞれの場合の平均時間を，それぞれの確率で加重平均を取っていると言ったら理解できますか？

> この時間とAからBかDに移ってそこから停止するか消滅するまでの平均の時間のEBやEDと同じになるのはおかしくないですか？

なぜおかしいと思うのですか？EAがEBやEDと違う理由などどこにもないでしょう。
もう一度言いますと
なぜなら，ＰがAにいるときも，ＰがＢにいるときも，ＰがDにいるときも，点の配置が対象だから全く同じ状況になっているからです。

別の例を出すと，例えばさいころを振ったとき初めて4以上の目が出るまでの平均回数Xを求めるとき
1)最初に4以上の目が出たときは1回です。
2)最初に3以下の目が出たときは，1+X回です。
だからX=1*(1/2)+(1+X)*(1/2)です。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>AからBを経由して停止消滅するまでの平均時間の，全体の平>均時間に対する寄与率は1/4でしょう。
全体の平均時間に対する寄与率ってどういう意味ですか？寄与率という言葉があまり理解できないです、

AからBを経由して停止消滅するまでの時間というのはA→B→C→D→A→B→C・・・→A→B→・・の場合とA→B→A→B→・・
みたいなとにかくAからBに行ってから停止消滅するという事ですか？

>なぜなら，ＰがAにいるときも，ＰがＢにいるときも，ＰがD
>にいるときも，点の配置が対象だから全く同じ状況になって>いるからです。
BとDは全く対称だと思いますよ、Aも例えば0秒後どこの位置にいるか分からないという状況だったら対称ですよ、

でも0秒の時つまり一番最初の位置はAと決まってるんです、だから1秒後は必ずA以外の位置に行きます、

だからA,B,Dは停止するか消滅するまでの平均の時間がどの位かかるかという点に置いて対称ではないのではないですか？　

上で書いたA,B,Dを経由してって言う考え方なら対称になりそうですが、ここがまだもう少し理解する必要がありそうです

回答No.5

MagicianKuma

同じ記号を使うので混乱するのであれば、こう書いてみればよい。
EAはAからスタートして停止するまでの平均時間とする。（求めたい平均値）
EBはBからスタートして停止するまでの平均時間とする。
EDはDからスタートして停止するまでの平均時間とする。
すると、EAは
EA秒=1秒*1/4*2+(1秒+EB秒)*1/4+(1秒+ED秒)*1/4　となる。
でよくよく考えれば、対称性よりEAとEBとEDは同じ値になるはず。この値をあらためてEと書くことにすれば　E=1*1/2+(1+E)*1/2　よってE=2

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>(1秒+EB秒)*1/4+(1秒+ED秒)*1/4
これなんですが、1/4かけてるのが分からないです、何で1/4なんですか？1+EBってAからBに移って停止するか消滅するまでの平均の時間ですよね、

これに1/4をかけてるのは何故ですか？AからBに移る確率は1/4ですが、Bから停止するか消滅するまでの平均に1/4を掛けるのが分からないです、

1+EDに1/4が掛かってるのも同じ理由で分からないです

>EAとEBとEDは同じ値になるはず
ここでのEAって0秒のAにいる時点から停止するか消滅するまでの平均の時間ですよね、

この時間とAからBかDに移ってそこから停止するか消滅するまでの平均の時間のEBやEDと同じになるのはおかしくないですか？EBとEDが同じなのはわかりますよ

回答No.4

MagicianKuma

期待値に確率をかけていると考えるから訳が分からなくなる。
E=1×1/4×2+(1+E)×1/4×2　　この式の意味は左辺のEは求めるE（Aから出発して止まるまでの平均時間）
右辺の最初の1x1/4x2　は1/4の確率でLかEにいって止まってしまう。その時にかかる時間は1　なので　平均値への寄与は1秒x1/4x2
(1+E)は1秒後にD(またはB)に行って、その後D(またはB)から平均E秒後に止まるということを意味している。　そういうことが起こる確率は1/4x2ですよ。といっている。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>その後D(またはB)から平均E秒後に止
左辺の意味は分かりましたがEって最初のAから始まって停止するか消滅するまでの全ての平均なのに何でBやDから始まってEを使えるんですか？