方程式

質問

x,yに関する連立方程式ax-6y=a＋2, 2x＋(a-7)y=3について
(1)解がないのはaの値がいくらのとき？
(2)解が無数にあるのはaの値がいくらのとき？
(3)ただ１組の解をもつとき、その解は？
という問題で

ax－６ｙ＝a＋2 …(1)
2x＋(a-7)y=3 (2)
(2)*a-(1)*2より
((a＾2)-7a＋12)y=a-4
(a-3)(a-4)y=a-4から
どのようにして３問を解くのか分かりません。

回答No.4

kkkk2222

ーーー
この手の問題は、
２式を直線の方程式と見るとＩＭＡＧＥが掴み易いです。
平面上の２直線はの関係は、

１０＃　平行（重なる場合を除く）
２０＃　重なる
３０＃　一点で交わる
各々
(1)解がない(2)解が無数(3)ただ１組の解
に対応となります。
ーー
(1)解がない
別の例で思考すると、
＊２Ｘ＋３Ｙ＝５
＊４Ｘ＋６Ｙ＝７　この２式には解がありません。
解をもたない条件は
Ｘの係数の比＝Ｙの係数の比≠定数項の比

ax-6y=a＋2
2x＋(a-7)y=3

Ａ：２＝（－６）：（Ａ－７）≠（Ａ＋２）：３
Ａ（Ａ－７）＝－１２
Ａ＾２－７Ａ＋１２＝０
（Ａ－４）（Ａ－３）＝０

Ａ＝４のとき、比は
４：２＝（－６）：（－３）＝６：３
となり不可

Ａ＝３のとき、比は
３：２＝（－６）：（－４）≠５：３
となり、可　　　
　　　　解はＡ＝３のみ。
ーーー
(2)解が無数
これは
Ｘの係数の比＝Ｙの係数の比＝定数項の比
上記の、Ａ＝４のときに対応し、
　　　　解はＡ＝４
ーーー
(3)ただ１組の解
これは
Ｘの係数≠Ｙの係数の比
上記の計算から
（Ａ－４）（Ａ－３）≠０
　　　　解はＡ≠３、４　（または３、４以外）
ーー
＞＞(2)*a-(1)*2より
Ａが０、Ａが０でない時の場合分け必要です。
（結果てきには不要ですが）
＞＞(a-3)(a-4)y=a-4
ここまで出来ているならば、場合分けを適切におこなえば解答可能ですが（説明省略）、
＊＜文字で割る＞＜文字を乗ずる＞解法は、場合分けがときにより、はなはだ困難となり回避できるなら回避するの賢明です。

回答No.3

noname#40706

ご存じのように数学では「０で割る」事が「鬼門」になっています。

そこで

(a-3)(a-4)y=a-4　から　直ぐに

ｙ＝（ａ－４）／（ａ－３）（ａ－４）とはできないのです。

ただし、

（３）：ａの値が３や　４　でなければ　上の答えで正解です。これがただ１組の解をもつ場合にあたります。

（１）：ａ＝３の場合は　ａ＝３をもとの式に入れてみると

０ｙ＝－１。　この式を満たすｙの値は存在しません。これが解がない場合にあたります。

（２）：ａ＝４の場合は　ａ＝４をもとの式に入れてみると　０ｙ＝０。この式にどんなｙを入れても成立します。つまり解は無数にある場合にあたります。

ということです。

結局、係数が文字で表されている式を変形するときは、０で割ることがないように、いつでも注意する習慣をつけておくことが大切だということです。

回答No.2

m_ik_e

２つの式をx-yのグラフ上で考えてください
まず二者をyについて整理してください

y= (a/6)x -(a+2)/6
y=(2/(a-7))x +3/(a-7)

この傾きが等しい場合を考えます。
　(a/6)=(2/(a-7))
⇔(a-3)(a-4)=0
⇔a=3,4
です。
a=3の時は、切片が-5/6,-3/4と異なります。
よって二者は平行線、交点(解)を持ちません。
a=4の時は、切片が両方-1に。
つまり二者は重なり、線上全てが解。解は無数ですね。
最後に唯一つの解、というのは、二本の直線が交わること。
平行でなければどこかでいずれ交わります。
つまり、a≠3,4です。

回答No.1

debut

例えば、a=4とすると、
(1)式は4x-6y=6→2で割って2x-3y=3
(2)式は2x-3y=3　となり、両者は一致するため
解は無数になります。
また、a=3ならば、
(1)式は3x-6y=5→3で割ってx-2y=5/3
(2)式は2x-4y=3→2で割ってx-2y=3/2
左辺が同じなのに右辺が違うので、両方を成り
立たせる解はない。

あるいは、２つを直線と考えてyについて解いてみれば
y=(a/6)x-(a+2)/6　と　y={-2/(a-7)}x+3/(a-7)　で
a=3のとき、
前者はy=(1/2)x-5/6、後者はy=(1/2)x-3/4で平行に
なるから２直線の交点（連立の解）はないことが
わかり、
a=4のとき、
前者はy=(2/3)x-1、後者はy=(2/3)x-1で２つの直線
はぴったり一致するのでy=(2/3)x-1をみたすx,yなら
解は無数にあることがわかります。

aが3と4でないとき、(a-3)(a-4)y=a-4を解いて、
y=(a-4)/{(a-3)(a-4)}=1/(a-3)
これが１つの解です。あとは、(1)式にでも代入すれば
xの値も求められます。