閉区間[-1,1]がコンパクトである事の証明は?

質問

こんにちは。

閉区間[-1,1]がコンパクトである事はどうやって証明すればいいのでしょうか?

RはT:={(a,b)∈2^R;a,b∈R}を位相として位相空間をなしますよね。
[-1,1]の開被覆の集合{A∈2^T;[-1,1]⊂∪[B∈A]B}:=C
∀A∈Cを採った時、どのように有限個のB1,B2,…,Bn∈Aを選べば
[-1,1]⊂∪[i=1..n]Bi
と出来るのでしょうか?

回答No.4

gururinbus · ベストアンサー

No1です。

閉区間列S1、S2、…、Sn、…はいずれも空でありませんから(∵有限個の開集合で覆いきれない閉区間列と仮定しているので、もし空ならひとつの開集合で覆えてしまう)、いまSiの元をsiと記すことにします。(i=1,2,…)
m＞nのときsm∈Sm⊂Snでありsn∈Snだから|sm-sn|≦(1/2)^(n-1)　が成立。(Snの区間の長さは、作り方によりS0が2でS1が1でS2が1/2…となっているから)

よって、点列snはコーシー列を成すことがわかる。実数の完備性により点列snの極限が存在する。それをsとおく。(つまりlim sn = s)

このとき∩Sn={s}が成立。

証明：

(∩Sn⊃{s}について)　nを任意に与えられた自然数とする。m≧nとなる任意の自然数mに対し、sm∈Sm⊂Snが成立。Snが閉区間であるのでs=lim sm ∈Sn　が成立。ゆえに∩Sn⊃{s}が成立。

(∩Sn⊂{s}について) x∈∩Snとする。すると任意の自然数nに対しx∈Snである。ここで、上で示したように∩Sn⊃{s}が成立しているから、s∈Snである。よって|x-s|≦(1/2)^(n-1)が成立。nは任意であったので、|x-s|=0でなくてはならない。よって、x=s∈{s}である。

お礼

遅くなりましてすいません。
大変有難うございます。

お陰様で解決できました。

回答No.3

gururinbus

No.1です。

大雑把に言うと、[-1,1]が有限個の開集合で覆いきれないと仮定すると、
[-1,0]、[0,1]の少なくとも一方は有限個の開集合で覆いきれないですね。
いま、[-1,0]が有限個の開集合で覆いきれないとしましょう。
[-1,0]が有限個の開集合で覆いきれないから、
[-1,-1/2]、[-1/2,0]の少なくとも一方は有限個の開集合で覆いきれないですね。
以下、この操作を繰り返し、
有限個の開集合で覆いきれない閉区間列S1、S2、…、Sn、…を作ります。
すると、∩Snは単集合となります。
∩Snの唯一の元をsと書くことにします。
s∈[-1,1]⊂∪Bi　(Biは開集合)だから、
あるiが存在しs∈Biとなります。

Biが開集合だから、ある開近傍Gが存在しs∈G⊂Biとなります。
しかし、Snの区間列の作り方からnを十分大きくとればSn⊂Gとなります。
これは、Snがただ１つの開集合Gで覆われたことになるので
閉区間列Snの「有限個の開集合で覆いきれない」ということに反します。

以上のようなことを「もっと証明らしく」書いてやればよいかと思います。

お礼

ご回答有難うございます。遅くなりましてすいません。

> 有限個の開集合で覆いきれない閉区間列S1、S2、…、Sn、…を作ります。
> すると、∩Snは単集合となります。
これはどうやって単集合に成る事を示せばいいのでしょうか?

∩Snがφ集合となる場合と、∩Snが2個以上元を持つ場合とをそれぞれ仮定してみましたがそれから先に進めません。

回答No.2

zk43

どうしても任意の開被覆から有限被覆を選べることを証明したいという
ことであれば、ちょっと趣旨の違う回答になってしまうかもしれません
が、コンパクト性を証明するのは区間縮小法（実数の連続性）を使って
証明することができます。つまり、[-1,1]に任意に無限点列を与えた
場合、この中から[-1,1]の点に収束する部分列が選べることを示しま
す。これは点列コンパクトの意味でのコンパクト性です。しかし、距離
空間においては、「点列コンパクト」であるということと「任意の開被
覆から有限被覆が選べる」ということは同値である、という定理があり
ます。位相幾何（たとえば、トポロジー入門（松本幸夫））の本に証明
がありますが、ここで書くと非常に長くなりますし、私も正確に理解し
ているわけではないので、要約を説明する自信もなく、とりあえずご紹
介まで。ネットでは、「ハイネ・ボレルの定理」で検索すると良いかと
思います。失礼しました…

お礼

遅くなりましてすいません。
大変有難うございます。

お陰様で解決できました。

回答No.1

gururinbus

具体的にB1,B2,…,Bnを決めるのは難しいと思いますが、背理法を使って証明すればよいかと思います。

位相の教科書に、より一般的な命題の証明があると思うのでそれを参考にしながら考えてみてはどうですか？

お礼

ご回答有難うございます。

∀n∈N,B1,B2,…,Bn∈Aに対し、[-1,1]⊂∪[i=1..n]BiとはならないA∈Cが存在したと仮定してみるのですか。

、、、でもそれからどうするのでしょう?
すごく難しいんですね。