導き出された固有ベクトル

質問

例題で読んでも分からないところがあります。

Let A=[.95 .03].
　　　[.05 .97]
Aを[.95 .03]だとしなさい。
　　[.05 .97]

Analyze the long-term behavior of the dynamical system defined
by Xk+1=AXk (k=0, 1, 2, ...) with X0=[.6].
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[.4]
Xk+1=AXk (k=0, 1, 2, ...) with X0=[.6]で定義された動的なシステムの長期的な動きを解析しなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[.4]

Solution
The first step is to find the eigenvalues of A and a basis for each eigenspace.
The characteristic equation for A is
0=det[.95-λ .03 ]=(.95-λ)(.97-λ)-(.03)(.05)
　　　[ .05 .97-λ]
　　　=λ^2=1.92λ+.92=(by the quadratic formula)=1 or .92.
解法
まず最初にすることはAの固有値とそれぞれのeigenspaceの基底を見つけることだ。
Aの特性方程式は
0=det[.95-λ .03 ]=(.95-λ)(.97-λ)-(.03)(.05)
　　　[ .05 .97-λ]
　　　=λ^2=1.92λ+.92=(by the quadratic formula)=1 or .92.

It is readily checked that eigenvectors corresponding to λ=1 and λ=.92 are multiples of
v1=[3] and v2=[ 1]
　　[5]　　　　[-1]
respectively.
λ=1とλ=.92に対応する固有ベクトルがそれぞれの倍数であることを確かめるのは容易だ。

…ここから先もまだまだ続くのですが、割愛させていただきます。
さて、ここのv1, v2がどうやって導き出されたのかがまったく分かりません。

まっっったく関係のない数字のように見えるのですが…。
分かる方、説明をお願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

ginkgoさん、こんにちは。

＞It is readily checked that eigenvectors corresponding to λ=1 and λ=.92 are multiples of
v1=[3] and v2=[ 1]
　　[5]　　　　[-1]
respectively.
λ=1とλ=.92に対応する固有ベクトルがそれぞれの倍数であることを確かめるのは容易だ。

固有値λ=1に対する固有ベクトルが
V1=[3]
　[5]
固有値λ=92に対する固有ベクトルが
v2=[1]
　[-1]
である、というのは一体どこから出てきたのか？ということですね。

固有ベクトルとは、そもそも
Ax=λx
となるようなベクトルxですから
＃１の方の回答どおりですが、

(A-λI)(x)=0
を解いてxを求めればいいことになります。

A=[.95　.03]
　[.05　.97]
でしたので、
λ=1のとき、
[.95-1　.03][x1]　[0]
[.05　.97-1][y1] = [0]

これからは
-0.05x1+0.03y1=0
0.05x1-0.03y1=0
という式が導かれるので、そのような[x1,y1]の組み合わせとして

[x1,y1]=[3,5]←横に書いていますが、縦だと考えてください。
を一つとってくれば充分である。

v2=[x2,y2]も同様に導き出してください。

http://www007.upp.so-net.ne.jp/masema/eigenvalue.html

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/numeanal2/node10.html

参考URL：

http://www007.upp.so-net.ne.jp/masema/eigenvalue.html

お礼

あら、簡単じゃないですか。←それが分からなかった奴(^^ゞ
回答を見てやっと気付きました。
(A-λI)(x)=0の式は今まで嫌というほど使ってきたのですが、
ここでこの式を使うとはこの説明からは読み取れませんでした。
ちょっと飛び過ぎの気がします、なにせ読者にとっては初めてのことを説明しているのですから…。
どうせなら「…固定ベクトルを求めてみると、それぞれの倍数であることを確かめるのは容易だ」とか書いてほしかったです>出版社さん
すっきりしました。
ありがとうございました!

回答No.2

keyguy

記述の不備があったので訂正：

固有値がλの2次列固有ベクトルvは
(A-λ・E)・v=0
の方程式を求めればいいのです。
2つの固有値に対する固有ベクトルは定数倍を除いて一意に定まります。
これは当たり前のこととして導出過程を省略して結果だけをだしているのです。
動的システムをやっているのですからこの程度は分かっているとしているのです。

お礼

実はこれが動的システムについての一番最初の説明なのです。
さすがに予想できませんでした。
今までの例題はほとんど省略がなく、とても分かりやすいのですが、本当にここだけですね、疑問に思ったのは。
実は教授にも尋ねたのですが、時間もなかったせいか「うーん、Aをrrefしてみたら?」と言われました。
やってみて即座に違うと判明しましたが、それ以上責めるのも酷なのでここで質問しました。
すっきりしました。
ありがとうございました!

回答No.1

keyguy

固有値がλの固有ベクトルvは
(A-λ)・v=0
の方程式を求めればいいのです。
2つの固有値に対する固有ベクトルは定数倍を除いて一意に定まります。
これは当たり前のこととして導出過程を省略して結果だけをだしているのです。

お礼

ありがとうございます。