確率

質問

魔法の 4 面サイコロを 2 回振る。 S を 2 つのロールの結果の合計とします。 k= 2,3,.., 8 の場合、S = k が k に比例する確率と、与えられた合計 k が発生する可能性のあるすべての方法が等しくあり得ると言われています。 適切な確率モデルを構築し、ダブルを取得する確率を見つけます

A magical four-sided die is rolled twice. Let S be the sum of the results of the two rolls. We are told that the probability that S = k is proportional to k, for k= 2,3,.., 8, and that all possible ways that a given sum k can arise are equally likely. Construct an appropriate probabilistic model and find the probability of getting doubles

質問の意味がわかりません、解答解説をお願いします。

回答No.3

totokromo

この問題は、2つの4面サイコロを振って、出目の和がkになる確率がkに比例するという条件が与えられています。つまり、次の確率が成り立つということです。

P(S=k) ∝ k, for k=2,3,...,8

ここで、Sは2つのサイコロの目の和を表しています。また、ある和kが発生する可能性のあるすべての方法は等しくあり得るとされています。
この条件に基づいて、確率モデルを構築することができます。具体的には、以下のようになります。

・各サイコロの出目は1から4の値をとる。
・2つのサイコロの出目を独立に生成する。
・2つのサイコロの出目の和がkになる確率は、kに比例する。

このモデルに従って、ダブルを取得する確率を求めることができます。ダブルを取得するには、2つのサイコロの出目が同じになる必要があります。つまり、1つ目のサイコロの出目と2つ目のサイコロの出目が同じ確率は1/4であり、ダブルを取得する確率は次のようになります。

P(ダブル) = P(S=2) ∝ 2

ここで、S=2である確率を求める必要があります。S=2の場合、1つ目のサイコロの出目は1でなければならず、2つ目のサイコロの出目も1でなければなりません。したがって、S=2である確率は次のようになります。

P(S=2) = P(1st die rolls a 1) × P(2nd die rolls a 1) = 1/4 × 1/4 = 1/16

従って、ダブルを取得する確率は次のようになります。

P(ダブル) = P(S=2) ∝ 2 = 1/16 × 2 = 1/8

したがって、このモデルに従って、ダブルを取得する確率は1/8となります。

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この問題は、2つの4面サイコロを振ることで、2つの数の合計を計算することが求められています。合計Sが2から8までの場合の確率が、Sに比例することが言われています。つまり、Sが2である場合の確率はSが3の場合の確率の半分、Sが4の場合の確率はSが2の場合の確率の2倍、といった具合になります。
また、与えられた合計kが得られる可能性のあるすべての方法が等しく起こり得るとされています。たとえば、S=4の場合、サイコロの目が(1, 3)、(2, 2)、(3, 1)のいずれかである可能性があります。それぞれの場合が同じ確率で起こり得ることが言われています。
この問題を解くために、確率変数を定義する必要があります。ここでは、Sを2つのサイコロの目の和と定義します。Sが2から8までの整数値をとることがわかっているので、確率変数Sの確率分布を次のように定義します。

P(S = k) = ck (2 ≤ k ≤ 8)

ここで、cは定数で、各kに対する確率がkに比例することを表しています。確率の総和が1になるように、cを求めます。

1 = Σk=2 to 8 ck
= cΣk=2 to 8 k
= c(2+3+4+5+6+7+8)
= 28c

よって、c = 1/28 です。したがって、確率分布は次のようになります。

P(S = k) = k/28 (2 ≤ k ≤ 8)

ダブルを取得する確率は、2つのサイコロで同じ数が出る確率です。すなわち、(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)のいずれかが出る確率です。これらの場合のそれぞれの確率は、確率分布から求めることができます。

P(S = 2) = 2/28 = 1/14
P(S = 3) = 3/28
P(S = 4) = 4/28 = 1/7
P(S = 5) = 5/28
P(S = 6) = 6/28 = 3/14
P(S = 7) = 7/28 = 1/4
P(S = 8) = 8/28 = 2/7

よって、ダブルを取得する確率は
P(S = 2) + P(S = 3) + P(S = 4) + P(S = 5) + P(S = 6) + P(S = 7) + P(S = 8)

= (1/14) + (3/28) + (1/7) + (5/28) + (3/14) + (1/4) + (2/7)

= 1/2

よって、ダブルを取得する確率は1/2です。

回答No.2

f272

> 目の和Sがkとなる確率がkに比例する...?

that the probability that S = k is proportional to k, for k= 2,3,.., 8,
というのが言われていることの1つ目(目の和Sがkとなる確率がkに比例する)
that all possible ways that a given sum k can arise are equally likely
というのが言われていることの2つ目(kになる場合の確率はどれも同様に等しい)

回答No.1

f272

目の和Sがkとなる確率がkに比例するので，その確率を
24a，36a，48a，60a，72a，84a，96a
と置くことができて，そのkになる場合の確率はどれも同様に等しいので，各場合の確率は以下のようになる。
(1,1)=24a
(1,2)=(2,1)=18a
(1,3)=(2,2)=(3,1)=16a
(1,4)=(2,3)=(3,2)=(4,1)=15a
(2,4)=(3,3)=(4,2)=24a
(3,4)=(4,3)=42a
(4,4)=96a
確率の和は1になるので，上記のaは1/420である。
なお，このとき1回目に1が出る確率は73/420，1回目に2が出る確率は73/420，1回目に3が出る確率は97/420，1回目に4が出る確率は177/420である。
ダブルの目が出る確率は，それぞれ
(1,1)=24/420=6/105
(2,2)=16/420=4/105
(3,3)=24/420=8/105
(4,4)=96/420=24/105
であり，合計42/105となる。

補足

目の和Sがkとなる確率がkに比例する...?