行列の階数

質問

「行列Ａのｒ次の小行列式で値が０でないものがあるための必要十分条件はＡのｒ個の列ベクトル（行ベクトル）で１次独立なものがとれることである」
の証明なんですが、感覚的にしかわかりません。
わかる方、教えてください。宜しくお願いします。

回答No.3

noname#101087

>もしもＣの任意の小行列式の値が０であると仮定すると＊より　｜tＣ"Ｃ｜＝０となる。とあるのですが、なぜ｜tＣ"Ｃ｜＝０となるのでしょうか？

「Cの任意の小行列式の値が0であると仮定」すれば｜tC"C｜= 0 になるのは明らかです。
この仮定は、帰謬法を適用するための「事実に反する仮定」です。
「Cのある小行列式は0にならないはず」というのが帰謬法の結論で、その小行列式を構成している行列要素が、
Aからとれる「r個の列ベクトル(行ベクトル)で１次独立なもの」だ、というハナシになってませんか?

(確かに、tC"C をもち出さなくとも同じ結論を導けそうな気がします。このハナシの前に、行列式の話が盛り沢山あったせいかも)

回答No.2

kabaokaba

転置行列のバーって何ですか？

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何度かいったけど・・・一般の場合で理解できなかったら
２，３，４とかの低い次元で考えればよい．

この定理，感覚的に理解できてれば
何をやってるのかわかるはずなんだけどなあ・・・
これまた同じことをいいますか，
とどのつまりは「連立方程式の加減法」のはず．

回答No.1

koko_u_

感覚的にわかったのなら、八割方証明できたも同然ですが。
よっぽどわかり難い証明を見たのかな？

補足

証明内容が初めからわからないのですが、
Ａを(m,n)行列としＡのj1,…,jr列aj1,…,ajrが１次独立であると仮定してこれを並べてできる(m,r)行列をＣとおく。Ｃのｍ個の行ベクトルをa1',…,am'とすると次が成り立つ。
(Ｃの転置行列のバーをtＣ"と表すと、)
tＣ"Ｃ＝[a1j1"…amj1"[a1'
　　　　　　　　　… 　　　 …
　　　　　a1jr"…amjr"] am']
　　　＝[a1j1"a1'+…+amj1"am'
　　　　　　　 　　　…
　　　　a1jr"a1'+…+amjr"am']
｜tＣ"Ｃ｜＝Σ(1≦p1,p2,…,pn≦n)ap1j1"apj2"…apjr"｜ap1'
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　apr'｜…＊
ここでもしもＣの任意の小行列式の値が０であると仮定すると＊より　｜tＣ"Ｃ｜＝０となる。
とあるのですが、なぜ｜tＣ"Ｃ｜＝０となるのでしょうか？それからバーを持ち出さないと証明はできないのでしょか？馬鹿な質問ですみません。よろしくお願いします。